¿Por qué uno tiene que comprobar si los axiomas son verdaderos?

En el libro Análisis 1 de Tao , escribe:

Por lo tanto, desde el punto de vista de la lógica, podemos definir la igualdad en un [comentario mío: creo que se olvidó de la palabra "tipo de objeto" aquí] como queramos, siempre y cuando obedezca las reglas reflexiva, simétrica y transitiva. axiomas, y es consistente con todas las demás operaciones sobre la clase de objetos en discusión en el sentido de que el axioma de sustitución era cierto para todas esas operaciones.

¿Quiere decir que, si uno quiere definir la igualdad en un tipo específico de objeto (como funciones, pares ordenados, por ejemplo), tiene que verificar que estos axiomas de igualdad (se refiere a estos cuatro axiomas de igualdad como "simetría ", "reflexividad", "transitividad" y "sustitución") se mantienen en el sentido de que uno tiene que probarlas? Así parece, por estos dos pasajes:

[En la sección 3.3 Funciones] Observamos que las funciones obedecen al axioma de sustitución: si X = X ′ , entonces F ( X ) = F ( X ′ ) (¿por qué?).

(Mi respuesta sería "porque eso es un axioma", pero aparentemente Tao no aceptaría eso).

Y después de definir la igualdad de conjuntos ( A = B : ⟺ ∀ X ( X ∈ A ⟺ X ∈ B ) ), Tao escribe (en la página 39):

Se puede verificar fácilmente que esta noción de igualdad es reflexiva, simétrica y transitiva (Ejercicio 3.1.1). Observa que si X ∈ A y A = B , entonces X ∈ B , por la Definición 3.1.4. Así, la relación "es un elemento de" ∈ obedece el axioma de sustitución

Entonces da el ejercicio para probar los axiomas de igualdad para conjuntos. ¿Por qué uno tiene que probar los axiomas? O dicho de otro modo: si uno puede probar estas cosas, ¿por qué las enuncia como axiomas?

@MauroALLEGRANZA: Su comentario simplemente establece la opinión de que uno tiene que verificar los axiomas en lugar de responder a mi pregunta de por qué uno tiene que verificar/probar los axiomas. Así que no ayuda en absoluto.
Como dije, Mauro, tus comentarios no responden a mi pregunta. Ya te dije por qué. Ahora me explicas que hay dos posibilidades: lógica de primer orden con igualdad y sin igualdad. Esto no tiene nada que ver con mi pregunta.
No, Terence Tao no está trabajando en un entorno formal estricto como esperas que lo haga todo el mundo.
@ user7280899 El problema es que la teoría de conjuntos en sí misma no es un entorno formal estricto. Se convierte en tal cuando comprende la lógica subyacente, es decir, la lógica de primer orden, y agrega axiomas ZFC a esta lógica. Claramente, Tao no quiere entrar en explicaciones tediosas y profundas sobre qué es la lógica de primer orden en el libro de análisis. Si quieres entender mejor el tema te recomiendo leer algún libro de lógica matemática. Si no está muy interesado en él, simplemente interprete cualquier ocurrencia de la palabra "axioma" como "propiedad" a menos que sea un axioma de ZFC.
"La gente piensa en los axiomas como leyes que debes seguir, o cosas verdaderas que debes asumir, y creo que ninguna de estas perspectivas es correcta. Es más exacto pensar en los axiomas como una forma de estar de acuerdo en que estamos hablando de lo mismo. cosa." -Qiaochu Yuan
Son axiomas de igualdad ; si tiene una relación de igualdad, entonces puede asumir esos axiomas al respecto. Sin embargo, cuando estás definiendo una nueva relación, necesitas probarlas para saber que tu relación es una relación de igualdad.
Tienes que probar que tu definición de igualdad satisface los axiomas. No tienes que probar los axiomas.
En realidad conozco esos axiomas como axiomas de relaciones de equivalencia . En otras palabras, está probando que su definición de igualdad define una relación de equivalencia. Si no es una relación de equivalencia, no merece el nombre de "igualdad".
En una nota al margen, no me gusta ver A = B ⟺ ∀ X ( X ∈ A ⟺ X ∈ B ) como una definición de = conjuntos, sino un axioma sobre una propiedad peculiar de los ∈ relación (por ejemplo, la ∈ de la teoría de conjuntos difiere de "es un padre de" para las personas, para las cuales la declaración correspondiente no es verdadera)

Respuestas (7)

Creo que Tao quiere decir que los axiomas de reflexividad, simetría y transitividad son adecuados para capturar nuestra intuición preexistente (esta es la clave) sobre lo que debería ser la "igualdad" entre dos objetos. Permítanme probar dos ejemplos contrastantes para ayudar a entender lo que quiero decir.

Versión 1

Tú: Conjuntos A y B son shmequal siempre X ∈ A ⇔ X ∈ B para todos X .

Yo: Eso suena como una buena relación para investigar. Nombre creativo, por cierto.

Versión 2

Tú: Conjuntos A y B son iguales siempre X ∈ A ⇔ X ∈ B para todos X .

Yo: Ahora, espera un segundo. ¿Por "igual" te refieres a "idéntico" o "exactamente igual"? No estoy seguro de estar listo para aceptar que esta definición abstracta capte todo eso. Tendrías que mostrarme que la relación X ∈ A ⇔ X ∈ B para todos X es reflexivo, simétrico y transitivo antes de que esté dispuesto a conceder que esto merece un nombre como "igual".

Comentario de OP

Me vino a la mente un ejemplo: definimos la igualdad para pares ordenados: ( X , y ) = ( a , b ) ⟺ X = a ∧ y = b . Para mostrar que la igualdad para pares ordenados es reflexiva, necesitamos mostrar ( X , y ) = ( X , y ) , que por definición significa X = X ∧ y = y . Pero X y y podrían ser pares ordenados. Así que ahora estamos en la situación en la que tenemos que probar que cada par ordenado es igual a sí mismo pero también tenemos que aceptar esto como dado.

Una débil respuesta de mi parte

Lucho por encontrar buenas palabras para abordar su pregunta, pero podría ser útil recordar que no estamos verificando si ( X , y ) = ( X , y ) . Más bien, esta es una de las cosas en las que insistimos que debería ser el caso si la "igualdad" significa algo; debe aplicarse a objetos idénticos. En su lugar, estamos preguntando "Para pares ordenados, ¿el X = a ∧ y = b propiedad captura esta verdad evidente acerca de la igualdad?". Encontramos que sí: X = X y y = y son ambas proposiciones verdaderas porque estamos comparando dos objetos idénticos en cada caso.

Olvidaste el axioma de sustitución. Y no creo que uno siempre pueda demostrar que se cumplen todos los axiomas de igualdad (¡entonces uno no los necesitaría como axiomas!). Para mí tiene mucho más sentido decir "todo está bien mientras una definición no contradiga los axiomas de igualdad".
¿Qué quiere decir con "contradecir los axiomas de igualdad"?
Algo contradice los axiomas de igualdad si conduce a una contradicción junto con los axiomas de igualdad.
@ user7280899 Entonces, uno debe verificar si la definición tal como se establece satisface los axiomas, que es lo que significa "demostrar los axiomas de igualdad para conjuntos".
Creo que tu respuesta es una buena explicación pedagógica, pero déjame pensarlo, tal vez encuentre un ejemplo para ilustrar mi punto.
Me vino a la mente un ejemplo: definimos la igualdad para pares ordenados: ( X , y ) = ( a , b ) : ⟺ X = a ∧ y = b . Para mostrar que la igualdad para pares ordenados es reflexiva, necesitamos mostrar ( X , y ) = ( X , y ) , que por definición significa X = X ∧ y = y . Pero X y y podrían ser pares ordenados. Así que ahora estamos en la situación en la que tenemos que probar que cada par ordenado es igual a sí mismo pero también tenemos que aceptar esto como dado.
¿Es correcto que uno no tiene que preocuparse aquí porque si uno define ( X , y ) = ( a , b ) : ⟺ X = a ∧ y = b , entonces uno ya presupone que uno tiene la igualdad definida para X , y , a , b , y por lo tanto se puede usar reflexividad, simetría y transitividad en la demostración?
Además, ¿se necesita recursividad para justificar esto?
@ usuario7280899 Sí; ha definido la igualdad de pares (de algo) en términos de igualdad de estos algo. Para que la igualdad de pares esté bien definida, es mejor que la igualdad de algunas cosas esté bien definida desde el principio.
Si los elementos de los pares son pares en sí mismos, necesariamente tienen un "nivel de anidamiento" más bajo, por lo que al aplicar recursivamente la definición nuevamente, eventualmente llega a comparar no pares.
@AustinMohr: En mi opinión, tu respuesta no tiene sentido. Arriba dices "Tendrías que mostrarme que esta relación es reflexiva, simétrica y transitiva antes de que esté dispuesto a conceder que esto merece un nombre como "igual"". y ahora estás suponiendo que la relación de igualdad es reflexiva, simétrica y transitiva.
@AustinMohr: Ese no era el problema. En mi opinión, ahora de repente estás asumiendo los axiomas, donde ayer decías que uno tiene que demostrarlos.
@ user7280899 Asumo sin pruebas que la reflexividad, la simetría y la transitividad capturan adecuadamente mi intuición preexistente sobre lo que ya significa la palabra en inglés "igual". Este es el punto de mi ejemplo "shmequal" vs. "equal". Lo que hay que demostrar es que algo como X ∈ A ⇔ X ∈ B para todos X tiene estas tres propiedades. Si es así, entonces se justifica el uso de un término cargado de valor como "igual". Creo que esto es todo lo que Tao estaba tratando de transmitir.
@ user7280899, creo que puedo resumir el punto de Austin en los límites de un comentario: las palabras en inglés tienen un significado fuera de las matemáticas. Si desea usar palabras en inglés como etiquetas para relaciones matemáticas (u objetos, o lo que sea), debe elegir relaciones (en este caso) que tengan propiedades matemáticas que se alineen con el significado en inglés de la etiqueta que está usando. Una relación que no sea reflexiva, simétrica y transitiva violará el significado en inglés de la palabra "igual", por lo que si su relación no tiene esas propiedades, entonces use otro nombre para ella.
@ user7280899, amplié el comentario anterior en una respuesta completa ; Espero eso ayude.
@celtschk: Eso es incorrecto. El hecho de que sea cierto para pares con cierto tipo de descripción explícita no significa que sea cierto en general. Hay sistemas formales en los que una tupla puede contenerse a sí misma. Incluso en ZFC, el hecho de que tales pares no existan solo puede demostrarse utilizando el axioma de fundamento y no debido a ninguna propiedad intrínseca de los pares. Si ZF es consistente, entonces hay modelos de Z más anti-base.
@user21820: Pero en ese caso, la igualdad del par no puede decidirse completamente a partir de la igualdad de los miembros del par. Rápido: Dado a = ( a , a ) y b = ( b , b ) , es a = b ? Si vamos a decidirlo basándonos únicamente en la igualdad de los miembros, esto significa verificar si los miembros del par son iguales. Así llegamos a " a = b si y si a = b y a = b ". Cierto, pero no es útil para decidir la igualdad.
@celtschk: Estás confundiendo decidibilidad y verdad. Ni siquiera hay un modelo computable de ZF (consulte math.stackexchange.com/a/1803041/21820 ), por lo que es irrelevante si puede verificar efectivamente la igualdad de dos cosas. Además, la definición de pares de Kuratowski funciona tanto en ZF como en Z más antifundación, con las mismas propiedades. Así que su comentario original es simplemente incorrecto.
No. " X si y si X y X " no es una función incomputable / indecidible, sino una tautología. AFAIU, el axioma de anti-fundamento en sí mismo definió la igualdad de conjuntos, al definir dos conjuntos como iguales si corresponden al mismo gráfico. Por lo tanto, la definición de igualdad de conjuntos en ZF plus anti-fundamento no es simplemente "los conjuntos son iguales si sus elementos son iguales". Y, de hecho, en esa teoría la cuestión de si a y b son iguales es decidible, es decir, son, porque sus gráficas son iguales. Pero la igualdad no está definida por la igualdad de miembros en esa teoría.
@user21820: Y sobre mi comentario original que es "incorrecto": la suposición estándar en matemáticas, a menos que se especifique lo contrario, es ZFC, y en ZFC la declaración es definitivamente cierta. (Y por cierto, en mi comentario anterior, olvidé la atribución)
@celtschk: Sí, es cierto en ZFC si usa la definición de par de Kuratowski, debido al axioma de fundación. La antifundación no define en absoluto la igualdad de conjuntos; simplemente afirma que la base falla. La igualdad de conjuntos todavía está axiomatizada por el axioma de extensionalidad. El motivo de mi comentario inicial es que su afirmación no se sostiene en general. Tenga en cuenta que la respuesta de Austin nunca especificó la representación de pares, por lo que no debemos simplemente asumir.
@celtschk: Lo siento, no debería haber dicho "anti-fundamento" sino "no-fundamento", para evitar confusiones con el axioma de Azcel.
@ user21820: la representación elegida de pares no importa. En ZFC, no puede haber representación de pares que puedan contenerse a sí mismos, ya que no importa cómo lo hagas, terminarás con un conjunto que directa o indirectamente se contiene a sí mismo, violando la base.
@celtschk: Tienes razón. Lo sabía, pero de alguna manera olvidé que estamos tratando solo con comparar pares, y seguí pensando que tendrías problemas con los que no son pares, aunque, por supuesto, dijiste que te detenías en los que no eran pares. Lo siento.

Probablemente estés confundido porque piensas que los axiomas son (por definición) declaraciones que tomamos como verdaderas sin pruebas. Sin embargo, esta palabra tiene un significado ligeramente diferente.

Los axiomas son un punto de partida de una teoría matemática. Cuando construyes una teoría, por ejemplo, Aritmética, desde cero, necesitas algunos hechos preliminares, de lo contrario no puedes probar nada. En Aritmética y en un montón de otras teorías matemáticas, las propiedades de igualdad descritas son de hecho axiomas, que no se prueban. La igualdad es una noción primitiva , y la única forma sensata de definirla realmente es postular que estas propiedades naturales (como nos parece a nosotros, los humanos) se mantienen.

Sin embargo, en la teoría de conjuntos, estos "axiomas" no son la definición de igualdad. Más bien, la igualdad se define a través de la fórmula anterior: dos conjuntos son iguales cuando se componen de elementos idénticos. Pero cuando definimos la igualdad de esta manera, surge una pregunta natural: ¿por qué estamos nombrando esto como "igualdad" en absoluto? Por eso probamos "axiomas de igualdad", a los que ya estamos acostumbrados, para mostrar que la denominación "igualdad" es adecuada. Y cuando los demostramos, se convierten en teoremas de teoría de conjuntos y propiedades de igualdad en lugar de axiomas. Esto se debe a que la teoría de conjuntos es más fundamental y más poderosa que la mayoría de las teorías matemáticas en el sentido de que se pueden construir (casi) todas las matemáticas basadas en ella.

En el libro, Tao no solo habla de la relación de igualdad en conjuntos, sino también de funciones, pares ordenados, etc.
@user7280899 En esos otros casos, "igual" se definiría de una manera diferente, y la carga recaería en la persona que propone la definición para demostrar que satisface la reflexividad, la simetría y la transitividad (y por lo tanto merece ser llamado "igual" ).
@user7280899 Sí, y las funciones, los pares, etc. también son algunos objetos que esperas que se comporten de cierta manera si estudiaste algo de matemáticas antes. Entonces, cuando los definimos en términos de conjuntos, debemos demostrar que se comportan exactamente como esperamos. Cuando aparece tal situación, es común llamar a las propiedades esperadas "axiomas", a pesar de que en realidad no son los axiomas de la teoría de conjuntos.
@Wolfram: su pregunta supone que una teoría de conjuntos pura en la que uno codifica cada objeto matemático como un conjunto es el único camino correcto a seguir. Pero eso no tiene nada que ver con mi pregunta.
Ese no es el único camino correcto a seguir. Fe, la otra forma posible que está en desarrollo activo hoy en día (y se considera incluso más poderosa que la teoría de conjuntos) es la teoría de tipos de homotopía. Pero cuando definimos igualdad, funciones, pares ordenados, etc. en cualquier teoría fundamental, generalmente demostramos que satisfacen estos axiomas. Porque en realidad podríamos definirlos de una manera que no los satisficiera. Y si es el caso, entonces la denominación es inapropiada (incluso cuando las definiciones son sensatas). Esta es una cuestión más filosófica que matemática… Así que no pretendo haberlo explicado bien.

Hay axiomas y luego hay axiomas. La mayoría de las veces los matemáticos usan la palabra "axioma" y lo entienden en un sentido definitorio. En lugar de "Una igualdad es una relación que satisface los axiomas de reflexividad, simetría, transitividad y sustitutividad", piense en cambio "Por definición, la igualdad es cualquier relación para la cual se cumplen la reflexividad, la simetría, la transitividad y la sustitutividad". En otras palabras, puede llamar a alguna relación una igualdad si puede demostrar que cumple con la definición, es decir, que la reflexividad, la simetría, la transitividad y la sustitutividad son verdaderas para ella. Así que la respuesta a tu primera pregunta es "sí". Para decirlo de otra manera, estos "axiomas" son ciertos para las relaciones de igualdad, pero debe demostrar que su relación es de hecho una relación de igualdad.grupo por ejemplo.

Para decirlo de una manera aún mejor, estos "axiomas" son axiomas en la "teoría de la igualdad" y desea mostrar que una relación particular es un modelo/interpretación/semántica para esa teoría. Esbozando de manera muy breve y aproximada, en lógica formal, una teoría es una colección de símbolos y una colección de reglas. Una teoría definirá ciertos arreglos de símbolos para que sean fórmulas (o oraciones o términos). También habrá una noción de "teorema" definida porlas normas. Por lo general, las reglas tendrán la forma "si estos arreglos de símbolos son teoremas, entonces este arreglo de símbolos es un teorema". Podría llamar a estas reglas "axiomas", aunque en este contexto normalmente sólo las reglas sin premisas, es decir, que simplemente declaran "esta disposición de símbolos es un teorema" sin condiciones, se llaman "axiomas". Sin embargo, el "axioma de simetría", por ejemplo, corresponde más a una regla que a un axioma en este sentido más estricto. Una teoría (y la lógica en la que se formula) da lugar así a un lenguaje.

Por supuesto, normalmente queremos hablar de círculos y torii y otros objetos matemáticos que no pensamos (normalmente...) en "disposiciones de símbolos". Para conectar una teoría con algunos objetos matemáticos, usamos una semántica que es una asignación de objetos matemáticos a los arreglos de símbolos de manera consistente (generalmente satisfaciendo algunas condiciones que dependen de la lógica en la que se formula la teoría) de modo que se cumplan las reglas. . Si no se cumplen las reglas, entonces la asignación no es una semántica para la teoría.

Entonces, Tao especifica (implícitamente) una teoría de la igualdad y estos ejercicios le piden que muestre que las interpretaciones particulares (es decir, las asignaciones) son semánticas para esa teoría.

Entonces, ¿cómo se relaciona esto con la teoría de conjuntos como el "fundamento" de las matemáticas o los axiomas como "verdades evidentes por sí mismas"? En lo que respecta a los "fundamentos", la situación es que los matemáticos en su mayoría han acordado (pretenden) trabajar dentro del lenguaje de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), que es una teoría en lógica de primer orden. No hay cuestión de "verdadero" o "falso" en este escenario. Simplemente tenemos algunas fórmulas que se llaman teoremas y reglas para hacer más teoremas. Las reglas/axiomas simplemente definen qué es un "teorema". Los axiomas en sentido estricto son entonces los puntos de partida para derivar teoremas como dijo Wolfram. Sin embargo, podemoshablar de semántica para la teoría de conjuntos ZF y mostrar que una asignación es una semántica, de hecho estaríamos obligados a probar el "axioma de emparejamiento" y el "axioma de infinito" y todos los demás axiomas de la teoría de conjuntos ZF son válidos para nuestra interpretación. Esto es algo que se hace en teoría y lógica de conjuntos.

Pragmáticamente, como dije en el primer párrafo, solo debe interpretar "axioma" en este y en la mayoría de los casos como "condición que debe cumplirse para cumplir con la definición". El resto de esta respuesta explicaba más cómo este uso de la palabra "axioma" es, de hecho, más o menos consistente con el uso en, por ejemplo, "axiomas de teoría de conjuntos" o "axiomas de geometría".

Gracias. Parece ser similar a la respuesta de Austin Mohr. ¿Puedes responder mi última pregunta en los comentarios de su respuesta?
Supongo que te refieres al comentario sobre pares ordenados y al siguiente sobre recursividad. La igualdad no es el mejor ejemplo de todo esto, ya que por lo general la igualdad es parte de la lógica más que la teoría dentro de la lógica. Además, en la medida en que trabajamos implícitamente en el lenguaje de la teoría de conjuntos, hay una noción incorporada de igualdad. (La igualdad también es más complicada de lo que parece). Hablemos de una relación de equivalencia. Es más fácil ver lo que está sucediendo en ese contexto. Si ∼ X es una relación de equivalencia en X y de manera similar para ∼ Y , ...
... entonces podemos hacer una relación de equivalencia en X × Y a través de
( X 1 , y 1 ) ∼ ( X 2 , y 2 ) ⟺ X 1 ∼ X X 2 ∧ y 1 ∼ Y y 2
Entonces, de hecho, para definir esta relación de equivalencia en pares ordenados, necesitamos tener relaciones de equivalencia en los componentes. El hecho de que X o Y podrían ser ellos mismos productos cartesianos no hace que esta definición sea recursiva. De hecho, tal vez el marco en el que estamos trabajando no permita productos cartesianos de productos cartesianos. No hace ninguna diferencia a esta definición. Entonces, cualquier "recurrencia" provendría del marco en el que estamos trabajando.

Personalmente, he llegado a pensar en los axiomas como pequeños componentes de una gran definición . Por ejemplo, los axiomas al comienzo de los Elementos definen lo que entendemos por "geometría euclidiana"; los axiomas de Peano sirven para definir lo que entendemos por "número natural", etc.

Esto le da un estilo algo más limpio que una definición que continúa por un párrafo o dos con muchas conjunciones. Y sirve para diferenciar las partes, de modo que podamos estudiar los efectos de tal vez intercambiar o cambiar una de ellas y mantener el resto igual.

Entonces, Tao está enumerando todas las subpartes en la definición de lo que queremos decir con "igualdad". Lo que significa la igualdad se supone de antemano por estos axiomas. Ahora la pregunta es: ¿una nueva relación propuesta realmente cuenta como igualdad , o no? Eso debe establecerse demostrando que cumple todos los criterios, es decir, todos los axiomas componentes de la definición.

Entonces da el ejercicio para probar los axiomas de igualdad para conjuntos. ¿Por qué uno tiene que probar los axiomas? O dicho de otro modo: si uno puede probar estas cosas, ¿por qué las enuncia como axiomas?

No prueba el axioma tal como se establece . El axioma afirma la igualdad entre dos conjuntos si y sólo si tienen exactamente los mismos miembros. Este símbolo de igualdad " = " es el símbolo en el sistema fundacional mismo, y no hay forma de que puedas probar un axioma del sistema fundacional si es independiente de los otros axiomas. De hecho, el símbolo de igualdad es parte de la lógica de primer orden en sí misma Entonces, ¿qué significa exactamente Terence Tao?

El escribio:

Se puede verificar fácilmente que esta noción de igualdad es reflexiva, simétrica y transitiva (Ejercicio 3.1.1). Observa que si X ∈ A y A = B , entonces X ∈ B , por la Definición 3.1.4. Así, la relación "es un elemento de" ∈ obedece al axioma de sustitución.

Esto lógicamente no es preciso a menos que esté trabajando en lógica de primer orden sin igualdad. Sería más claro definir la relación binaria ∼ tal que A ∼ B si y si ∀ X   ( X ∈ A ⇔ X ∈ B ) . Entonces tiene sentido preguntarse si ∼ es una relación de equivalencia o no, y si obedece a sustitución. Es trivial demostrar que efectivamente es simétrico, reflexivo y transitivo. En un sistema formal, deberíamos pensar en la noción de que una relación ∼ obedece a la sustitución en el sentido de que X ∼ y implica que PAG ( X ) ⇔ PAG ( y ) para cualquier 1 -entrar oración PAG . Resulta que en un lenguaje de primer orden no necesitamos verificar cada 1 -entrar frase, porque basta con comprobar cada uno de los símbolos no lógicos del lenguaje. Dado que el lenguaje de la teoría de conjuntos solo tiene un símbolo no lógico " ∈ ", la noción precisa de "obedece a la sustitución" en la teoría de conjuntos es, por lo tanto:

∀ A , B   ( A ∼ B ⇒ ∀ C   ( C ∈ A ⇔ C ∈ B ) ∧ ∀ C   ( A ∈ C ⇔ B ∈ C ) ) .

Observe que la primera mitad de la afirmación es trivialmente verdadera por definición de ∼ . No veo la segunda mitad en las citas de Terence Tao que tienes en tu pregunta. Si no me equivoco, no es demostrable, en cuyo caso Terence realmente no probó la sustitutividad total.

La respuesta de Austin Mohr es excelente; sin embargo, dado que condujo a un argumento extenso en los comentarios, deseo presentar una ligera simplificación y reafirmación que puede agregar algo.

(Publiqué esto como un comentario originalmente, pero quería ampliarlo).

Entonces da el ejercicio para probar los axiomas de igualdad para conjuntos. ¿Por qué uno tiene que probar los axiomas? O dicho de otro modo: si uno puede probar estas cosas, ¿por qué las enuncia como axiomas?

El punto básico a tener en cuenta aquí es que las palabras en inglés tienen un significado fuera de las matemáticas.

Eres libre de inventar cualquier relación que desees, con las propiedades que desees. Puede etiquetarlo con cualquier término inventado que desee sin necesidad de probar nada al respecto.

Si hace esto, solo está definiendo de lo que está hablando, y luego puede proceder a decir algo usando sus definiciones establecidas.

Sin embargo, si usa una palabra en inglés para nombrar o describir su relación, debe tener en cuenta el significado en inglés de la palabra. Es decir, al elegir una palabra en inglés como nombre, debe elegir una que se alinee con las propiedades que tiene su relación.

Y el corolario: si desea usar una palabra en inglés en particular como nombre para su relación, debe asegurarse de que su relación tenga las propiedades que implicaría ese nombre.

Esto se aplica ya sea que estemos nombrando relaciones, operadores o cualquier otra cosa.

Si defino un operador unario y lo llamo "inverso", pero mi operador tiene la propiedad de que la aplicación repetida de ese operador nunca producirá la entrada original, lo he llamado incorrectamente.

Si defino una relación y la llamo "relación de igualdad", pero no es transitiva ni simétrica, nuevamente he elegido el nombre equivocado.

(¿ Puedes nombrar mal a tus relaciones y operadores? Por supuesto que puedes. Lo único que se romperá es tu comunicación con otras personas, que es, por supuesto, la única razón para tener nombres para las cosas en primer lugar).

Una relación que no sea reflexiva, simétrica y transitiva violará el significado en inglés de la palabra "igual", por lo que si su relación no tiene esas propiedades, entonces use otro nombre para ella.

En este caso, la "relación de igualdad" entre conjuntos se ha definido en su libro de texto, y ahora es su tarea mostrar la idoneidad de la etiqueta "relación de igualdad" para la relación definida, demostrando que tiene las propiedades que uno esperaría del significado en inglés de la palabra "igualdad".

Estoy muy de acuerdo con el sentimiento en tu publicación. Pero en la historia de las matemáticas, incluso hasta el día de hoy, los matemáticos siempre han nombrado objetos matemáticos al azar. ¡Nadie puede adivinar el significado de "monoide" y "grupo" y "anillo" y "campo" sin conocer sus definiciones! Los adjetivos son igualmente opacos. Por ejemplo, no hay nada normal en un "subgrupo normal" (en realidad es especial), y hay números que son perfectos, amistosos, sociables, afortunados, educados, prácticos, sublimes, afortunados, prometidos, pastel ... No lo olvides cosas con nombres de personas... =)
@ usuario21820, está bien. ¿Qué tal: línea, punto, ángulo (ver etimología), triángulo, rectángulo, mayor, menor, igual (nuevamente, ver etimología), conjunto, función (etimología), vacío, sólido, compuesto, primo, dividir, multiplicar, sumar, restar, circunferencia, logaritmo (etimología), diferencial, integral, tangente... podría seguir. Sí, puede elegir palabras abstrusas que nadie conocería además de un matemático y que se nombran arbitrariamente. Creo que esas son la excepción, no la regla. El hecho de que haya más de ellos no viene al caso; en realidad no se usan con tanta frecuencia como las palabras que he nombrado. :)
Sí de acuerdo de acuerdo. Hay más términos inútiles que términos útiles. Es divertido ver que a los humanos les gustan tanto las etiquetas de una sola palabra que simplemente usarán todas las palabras disponibles. =) Nota al margen: no sé de dónde vienen los términos "logaritmo" e "integral"; son solo etiquetas para mi jaja..

La filosofía es que los axiomas deben ser lo más simples posible, básicos y pocos en número. De esta manera, podemos discutir muy poco acerca de la validez de tales axiomas. En contraste, mire en la historia del postulado paralelo. Los axiomas que mencionas tienen consecuencias inmediatas; sin embargo, si no probamos esas consecuencias, deben aceptarse como parte del axioma y, por lo tanto, el axioma es más complejo de lo necesario.

Por ejemplo,

Observamos que las funciones obedecen al axioma de sustitución: si X = X ′ , entonces F ( X ) = F ( X ′ ) (¿por qué?).

no se sigue solo del axioma de igualdad, sino también de la definición de función. Tenga en cuenta que no se cumple para todas las relaciones, como r ( X ) = ± X . Por lo tanto, para ser minimalista en los axiomas, debemos probar que la sustitución se cumple para las funciones. Aquí es donde la teoría de conjuntos y la lógica matemática se vuelven bastante poderosas, y abordamos estos problemas simplistas para mejorar nuestros dientes.

Asimismo,

Se puede verificar fácilmente que esta noción de igualdad es reflexiva, simétrica y transitiva (Ejercicio 3.1.1). Observa que si X ∈ A y A = B , entonces X ∈ B , por la Definición 3.1.4.

no se establece en el axioma, por lo que debe incluirse en el axioma o probarse. Parece y se siente como parte del axioma, y ​​la prueba es casi "porque el axioma lo dice", pero el enfoque minimalista exige la prueba.

¿Por qué uno tiene que comprobar si los axiomas son verdaderos?
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