Variables libres vs. enlazadas en lógica de primer orden

Una de las razones por las que permitimos declaraciones con variables libres es que la misma declaración se puede usar para muchos propósitos diferentes. Tomemos, por ejemplo, la declaración$x+y=0$.

Podríamos vincular las dos variables libres con dos cuantificadores existenciales y preguntarnos si el enunciado resultante es verdadero. O podríamos unirlo con dos cuantificadores universales, o con un cuantificador universal y uno existencial.

O podemos vincular ambas variables colocando la ecuación en la notación de construcción de conjuntos y definiendo su conjunto de soluciones sobre varias cosas diferentes, como:

• los numeros reales$\{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid x+y=0\}$
• los numeros complejos$\{(x,y) \in \mathbb C^2 \mid x+y=0\}$
• el$5$-números ádicos$\{(x,y) \in \mathbb Q_5^2 \mid x+y=0\}$
• el grupo cíclico de orden$7$ $\{(x,y) \in C_7 \mid x+y=0\}$.

En esencia, la ecuación$x+y=0$se convierte, en sí mismo, en un interesante objeto de estudio matemático. Podemos considerar preguntas como "¿Cómo funciona el conjunto de soluciones de$x+y=0$varían a medida que variamos el campo (o el grupo abeliano, o lo que sea)?" No seríamos capaces de formular y estudiar tales preguntas si nos viéramos obligados a vincular las variables cada vez que hablamos de la ecuación$x+y=0$.

Tiene una confusión sobre lo que significa vincular una variable. En la lógica de primer orden, una variable no está "vinculada a algún universo de discurso". En un enfoque semántico de la lógica de primer orden (clasificación única), todos los términos que incluyen variables (ya sean libres o ligados) se refieren a elementos en algún dominio dado . A menos que$\text{donut}$es parte de su dominio semántico (también conocido como un universo [de discurso]), no tiene sentido que sea la interpretación de una variable.

Sospecho que su confusión proviene de la notación teórica de conjuntos ,$\forall n\in\mathbb N.P(n)$. Esto suele interpretarse informalmente como una restricción$n$a elementos de$\mathbb N$, pero eso no es lo que está pasando. Supongo que esto es lo que estás imaginando cuando piensas en$n$estar "ligado a" el "universo del discurso"$\mathbb N$. Lo que realmente está pasando es$\forall n\in\mathbb N.P(n)$es una abreviatura de$\forall n.n\in\mathbb N\to P(n)$. En otras palabras,$n$oscila sobre todo el dominio (es decir, el universo real del discurso) que son todos los conjuntos , ya que esto es en el contexto de una teoría de conjuntos. Es simplemente el caso de que$n\in\mathbb N$será falso si$n$no es un número natural. Y de nuevo, según el primer párrafo,$\text{donut}$no será una posibilidad para$n$a menos que$\text{donut}$se refiere a algún conjunto específico.

Podría valer la pena explicar cuál es la semántica de las fórmulas con variables libres. Una semántica para una lógica de primer orden de orden único consiste en un conjunto,$D$, llamado dominio y una interpretación para fórmulas. En mi firme opinión, la mejor manera de organizar esto es indexar fórmulas por el conjunto (normalmente finito) de variables libres que pueden aparecer en ellas. Escribir$\mathsf{Form}(V)$para el conjunto de fórmulas con variables libres en$V$. Una interpretación es entonces una familia de funciones (que satisfacen algunas leyes) indexadas por conjuntos de variables libres,$\mathsf{interpret}_V:\mathsf{Form}(V)\to \mathcal P(D^V)$dónde$D^V$es el conjunto de funciones de$V$a$D$y$\mathcal P$es la operación powerset. Eso es,$\mathsf{interpret}_V$aplicado a una fórmula produce un subconjunto de$D^V$correspondiente a esas funciones$V\to D$que satisfacen la fórmula. Dado que podemos cambiar el nombre de las variables, solo nos importa qué tan grandes$V$es. Es decir, podríamos escribir algo como$\mathsf{interpret}_n : \mathsf{Form}(n) \to \mathcal P(D^n)$, y ahora$\mathsf{interpret}_n$aplicado a alguna fórmula produce un$n$relación -aria ¹ . Con esta perspectiva, la$i$La variable libre corresponde a la$i$proyección$\pi_i : D^n\to D$. Por ejemplo, la semántica de la fórmula$x = y$sería$\{p\in D\times D\mid \pi_1(p) = \pi_2(p)\}$. He estado hablando de "variables libres", pero no hay variables libres separadas versus variables vinculadas en lo que respecta a la semántica. Un cuantificador se interpreta como una operación.$\mathcal P(D^{n+1})\to\mathcal P(D^n)$. Entonces, una variable está representada por una proyección pero sigue siendo una proyección en el conjunto de dominio dado$D$.

Alternativamente, podría adoptar un enfoque sintáctico para esto. No entraré en detalles al respecto, pero en última instancia es aún más estricto. A nivel de sintaxis, no tiene sentido hablar del "valor" de una variable libre. Además, las únicas cosas a las que puede referirse son cosas que incluye su lenguaje formal. Es muy poco probable que su sintaxis para los términos incluya una imagen de una flor como un término bien formado. Incluso si lo hiciera, no tendría ningún significado. Sería simplemente una forma elaborada de nombrar una constante. La noción de variables libres y ligadas vive al nivel de la sintaxis (razón por la cual no era importante para la semántica del párrafo anterior), pero el "universo del discurso" es un concepto semántico.

¹ De hecho, no recomiendo hacer esto y más bien apegarme al$D^V$vista porque los nombres de las variables libres tienen algún significado, particularmente cuando estamos combinando varias fórmulas. Solo asumo que las cosas parecerán más familiares si hablo de relaciones y los nombres no importan para nuestros propósitos aquí.