¿Cuál es el tipo de orden del conjunto de los números naturales, cuando se escriben en orden alfabético?

Todos estamos familiarizados con la nomenclatura estándar para los pequeños números naturales, como

uno, dos, tres,..., cien, ciento uno,..., quince mil doscientos cuarenta y nueve.

Tengo en mente las convenciones americanas simples para nombrar los números , junto con los nombres de los números grandes . ( Actualizar nombres de números grandes parece ser más completo. Nota para los wikipedistas: probablemente debería fusionar esas dos páginas de alguna manera).

Pregunta preliminar. ¿Existe un sistema de nombres sensato que proporcione un nombre canónico para cada número natural?

Es decir, quiero un sistema de nombres que amplíe el sistema de nombres actual con sensatez de tal manera que cada número tenga un nombre único. Proporcione un sistema y explique por qué es sensato.

Por ejemplo, si hubiera alguna forma natural de extender la convención de nomenclatura en latín indefinidamente, sería fantástico.

Permítanme suponer que algunos de ustedes podrán proporcionar dicho sistema de nombres.

Pregunta principal. ¿Cuál es el tipo de orden del conjunto de los números naturales, cuando se escriben en orden alfabético?

Por ejemplo, el pedido no será el mismo que el pedido ω del número natural en sí, ya que presumiblemente habrá una cantidad infinita de números que comiencen con "o", como en cien, un millón, mil, etc., y todos estos precederán alfabéticamente a doscientos, dos millones, dos mil etcétera.

Entonces, el tipo de orden probablemente estará relacionado naturalmente L × 26 por alguna orden L , o en realidad, menos de 26 , ya que probablemente no todas las letras serán una primera letra legítima del nombre de un número.

Es concebible que el tipo de orden dependa de las características sintácticas de la convención de nomenclatura.

Aquí hay una parte del orden, para números hasta 100: (de hervé graumann 1988 )

1) eight

2) eighteen

3) eighty

4) eighty-eight

5) eighty-five

6) eighty-four

7) eighty-nine

8) eighty-one

9) eighty-seven

10) eighty-six

11) eighty-three

12) eighty-two

13) eleven

14) fifteen

15) fifty

16) fifty-eight

17) fifty-five

18) fifty-four

19) fifty-nine

20) fifty-one

21) fifty-seven

22) fifty-six

23) fifty-three

24) fifty-two

25) five

26) forty

27) forty-eight

28) forty-five

29) forty-four

30) forty-nine

31) forty-one

32) forty-seven

33) forty-six

34) forty-three

35) forty-two

36) four

37) fourteen

38) hundred

39) nine

40) nineteen

41) ninety

42) ninety-eight

43) ninety-five

44) ninety-four

45) ninety-nine

46) ninety-one

47) ninety-seven

48) ninety-six

49) ninety-three

50) ninety-two

51) one

52) seven

53) seventeen

54) seventy

55) seventy-eight

56) seventy-five

57) seventy-four

58) seventy-nine

59) seventy-one

60) seventy-seven

61) seventy-six

62) seventy-three

63) seventy-two

64) six

65) sixteen

66) sixty

67) sixty-eight

68) sixty-five

69) sixty-four

70) sixty-nine

71) sixty-one

72) sixty-seven

73) sixty-six

74) sixty-three

75) sixty-two

76) ten

77) thirteen

78) thirty

79) thirty-eight

80) thirty-five

81) thirty-four

82) thirty-nine

83) thirty-one

84) thirty-seven

85) thirty-six

86) thirty-three

87) thirty-two

88) three

89) twelve

90) twenty

91) twenty-eight

92) twenty-five

93) twenty-four

94) twenty-nine

95) twenty-one

96) twenty-seven

97) twenty-six

98) twenty-three

99) twenty-two

100) two

101) zero

Permítanme agregar que no espero necesariamente que el pedido sea un buen pedido. Por ejemplo, si tenemos una convención de nomenclatura en la que 10 k está representado por grandes k simplemente repitiendo "penpenpenpen ⋯ pen", entonces podríamos hacer una secuencia descendente a través de penpenpenpen ⋯ pen doce, que descendería a medida que aumentara el número de pen's, ya que estaríamos sustituyendo la t por la p.

Para esta pregunta, me inspiré en un acertijo que vi recientemente en línea, tal vez en Twitter, pero parece que no puedo encontrarlo ahora. Era un acertijo de continuación de secuencia, dando un breve segmento inicial de la orden (para números hasta 100) y luego preguntando, ¿qué sigue?
Tengo un método para escribir los nombres de los números en alfabeto: Para norte solo escribe una cadena de norte + 1 veces la letra "a". Entonces 0 is "a", and "aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa" is 345 . Ahora el tipo de orden es de nuevo ω !
Sí, Asaf, tal vez eso sea "sensato".
Esta pregunta exacta se hizo hace dos semanas en r/math subreddit .
@Wojowu Genial! Supongo que el rompecabezas está en el aire.
Permítanme agregar que el acertijo no se responde en reddit, aunque tienen sugerencias sobre algunas posibles convenciones de nombres y también reconocen que la orden puede estar mal fundada.
Según uno de los sitios web, 10 300 es un novemnonagintillón en la convención americana. pero que te imaginas 10 10 300 se puede llamar entonces?
No creo que la convención estadounidense esté completa, y el punto de mi pregunta preliminar es describir una convención de nombres que proporcione respuestas a todas esas preguntas.
@Holo: Sí, esa era la idea.
@AsafKaragila ¿no tendrá un tipo de pedido un poco más grande que ω ? a,aa,aaa,...,b,ba,baa,baaa,...,c,...,...,bb,bba,...
@Holo: si conoces un número natural norte que no se puede representar como una cadena de norte + 1 "a", entonces podemos hablar de agregar "b" y "c" a la representación.
@AsafKaragila, si es un modelo no estándar de PA, tiene algún segmento inicial con isomorfo al modelo normal, y todos los elementos fuera de este no estarán en las "a"
@Holo: Lo será, la cadena solo se indexará con un número entero no estándar.
En realidad, ni siquiera todos los hablantes nativos de inglés están "familiarizados con" el esquema de nombres de su primer ejemplo: en inglés británico, 15,249 se lee como "quince mil doscientos cuarenta y nueve ". Aparte de eso, la forma de su pregunta equivale a: "por favor, invente algo bueno y luego dígame cuáles son sus propiedades". Esta no es una buena pregunta MSE.
@RobArthan Sí, acabo de enterarme de la manera británica de usar "y" en números hoy en Twitter, después de haber publicado esta pregunta; gracias por la corrección. Mientras tanto, no se trata necesariamente de invención, ya que he aprendido que hay varios sistemas de denominación de números, incluidos los sistemas de Knuth y Conway, y supongo que pronto obtendremos respuestas resumidas. En cuanto al tipo de orden, me inclino a pensar que será algo más cercano a una orden densa, en lugar de una buena orden como muchos esperaban al principio. Por último, siento que no te guste la pregunta; Lo encuentro bastante interesante.
@JDH: es interesante, pero demasiado abierto. ¿Por qué no trabaja un poco en los sistemas específicos sobre los que ha aprendido y luego regresa con algunas preguntas específicas sobre cualquier problema que tenga? No puede simplemente decir "Creo que será algo más parecido a un pedido denso" cuando no tiene un sistema específico en mente.
Hice la pregunta preliminar porque asumí que ya había sistemas establecidos, que yo no conocía, y asumí que la gente publicaría explicándolos. Y, de hecho, existen tales sistemas, de los que he aprendido ahora en el sitio de reddit y en la discusión de Twitter en torno a esta pregunta. Tengo muchas ganas de leer a alguien publicando una cuenta de ellos aquí; pero publicaré si no hay otras publicaciones próximas. En cuanto a analizarlos y encontrar el tipo de orden, no creo que sea tan fácil describir las órdenes, ya que creo que la mayoría de ellas no son buenas órdenes.
En mi comentario sobre los órdenes densos, tenía algo más específico en mente, ahora que me enteré del esquema de nomenclatura de Conway y el esquema de nomenclatura de Knuth.
¿Qué es una torre de energía de diez ω '¿s?
Representar números en el sistema de notación inglés regular de "escala corta", por ejemplo, "million", "billion", "duodecillion", etc. Llamar a un número a t mi r metro si es de la forma " norte zillion', donde zillion es uno de millón, billón, etc. Luego, el orden debe separarse en 'bloques' ordenados discretamente de tipo de orden uno zillion, que consta de todos aquellos números cuyo término principal es " norte trillón" para algunos fijos norte entre 0--999. Por lo tanto, el tipo de orden exacto depende casi por completo del conjunto de caminos infinitos a través del árbol de 26 ramas de términos principales " norte trillones".
Más nombres para números muy grandes: sites.google.com/site/pointlesslargenumberstuff/home/l/pgln2
El artista francés Claude Closky en 1989 escribió un poema conceptual titulado "Los primeros mil números clasificados en orden alfabético": ubu.com/concept/closky_1000.html

Respuestas (1)

Consideremos el sistema de nomenclatura de pronunciación de dígitos , mediante el cual uno simplemente pronuncia los dígitos de un número en orden, de modo que 7216 se pronuncia "siete dos uno seis" y así sucesivamente para cualquier número. Así, obtenemos un sistema de denominación de los números, y aunque no amplía la nomenclatura estándar, sin embargo lo encuentro perfectamente sensato, proporcionando un nombre único y definido para cada número natural. Este sistema de nombres a veces se usa para números muy grandes, como leer el número en una tarjeta de crédito, y también se usa comúnmente para ayudar a eliminar la ambigüedad de números pequeños, como 50 y 15 . Así que me parece un sistema de nombres razonable.

Coloquemos los números naturales en orden alfabético con respecto a este sistema de nombres. De este modo, 882746 aparece alfabéticamente antes 87 , que aparece antes 8734 . Tenga en cuenta que cualquier prefijo de una palabra aparece antes en el orden alfabético.

Teorema. El tipo de orden de los números naturales, en orden alfabético con respecto al sistema de nombres de pronunciación de dígitos, es exactamente

ω ⋅ ( 1 + q ) + 1.

Prueba. Es decir, tenemos 1 + q muchas copias de ω , con un punto final en la parte superior.

Analizaré el sistema de nombres con respecto a la base diez, pero un análisis similar funciona independientemente de la base.

Considere primero el orden alfabético de los diez dígitos mismos:

ocho, cinco, cuatro, nueve, uno, siete, seis, tres, dos, cero

Tenga en cuenta que estos nombres de dígitos no tienen prefijos; ninguno de ellos es un segmento inicial de otro. Así, al comparar los nombres de dos números, nunca estaremos en una situación en la que se combine parte de un dígito con parte de otro para hacer la comparación alfabética. Más bien, el orden alfabético es el mismo que el orden léxico en las propias cadenas de dígitos, considerado en el orden alfabético de dígitos anterior.

El número más grande de todos, en orden alfabético, es cero, ya que ningún otro número comienza con la letra "z", por lo que este número aparecerá como la última entrada alfabéticamente. Esto explica la última + 1 en la afirmación del teorema.

El número más pequeño en orden alfabético, en cambio, es 8 , ya que comienza con "e", y los únicos otros números que comienzan con "e" también comienzan con 8 , seguido posiblemente de dígitos adicionales y, por lo tanto, aparecerá después del dígito único. 8 .

El siguiente número después 8 , alfabéticamente, es 88 y luego 888 y 8888 etcétera. Afirmo que cada número (excepto 0 ) tiene un sucesor alfabético, que es simplemente agregar un dígito 8 al final de la representación decimal del número. Por ejemplo, el siguiente número después de 532876 es 5328768 , porque cualquier otra secuencia de dígitos por encima del primer número debe extenderla o desviarse de uno de esos dígitos. Pero 5328768 estará por debajo de cualquier otra desviación o extensión superior, por lo que es un sucesor. Similarmente, 53287688 y 532876888 son los siguientes números, simplemente agregando más 8 está al final.

Por lo tanto, todos los números excepto 0 en el orden alfabético es seguido por una secuencia de tipo de orden ω , que se obtiene simplemente agregando 8 s. Y entonces el pedido será un número de copias de ω , más un punto más 0 en la cima.

Permítanme argumentar que esas copias de ω son ellos mismos densamente ordenados. si un numero metro precede a otro norte alfabéticamente, pero norte no es solo agregar 8 's hasta el final de la representación decimal de metro , entonces hay alguna desviación alfabéticamente hacia arriba en los dígitos de metro formar norte , si no norte extiende los dígitos de metro , pero eventualmente usando algunos dígitos que no sean 8 . Es fácil ver que podemos encontrar otro número en el medio, que tampoco será simplemente sumar 8 s.

Tal vez sea más fácil ver esto con un ejemplo. El número 7536 es alfabéticamente anterior a 752 , ya que "tres" es alfabéticamente anterior a "dos". Entre estos números, podemos encontrar 75366 , que tiene su propia copia de ω derivados de 753668 , 7536688 , 75366888 etcétera.

Así, los bloques de ω obtenido agregando 8 están densamente ordenados: entre dos cualesquiera de ellos podemos encontrar otro.

Observe que hay un primer bloque de este tipo de ω en el orden alfabético los números, a saber, el bloque que consta de 8 , 88 , 888 y así sucesivamente, que aparece al principio de los números en orden alfabético.

Por el contrario, no hay bloque más grande, antes de la final 0 , porque si nos dan cualquier número norte , podemos agregar algunos otros dígitos que no sean 8 hasta el final de la representación decimal, y así encontrar otra copia de ω arriba norte en el orden alfabético.

Por lo tanto, la ω bloques que surgen de anexar 8 Los 's están densamente ordenados, con un primer bloque de este tipo y ningún último bloque de este tipo. Dado que solo hay muchos números contables, debemos tener exactamente 1 + q muchos de esos bloques de tamaño ω . Y con el punto final 0 en la parte superior, se deduce que el tipo de orden de los números naturales en el sistema de nombres de pronunciación de dígitos es precisamente

ω ⋅ ( 1 + q ) + 1 ,
como se afirma. ◻ .

Varios de nosotros habíamos discutido este problema con unas cervezas anoche en Münster, incluidos Stefan Hoffelner y Stefan Mesken, después de mi charla en el Münster Logic Oberseminar . Stefan Hoffelner había sugerido que consideráramos el sistema de nombres de pronunciación de dígitos.

Permítanme decir finalmente que me parece que las características del sistema de nomenclatura de pronunciación de dígitos aparecerán esencialmente en todos los sistemas de nomenclatura, por lo que espero que este tipo de análisis pueda extenderse a las otras nomenclaturas, con quizás diferencias ligeramente diferentes. efectos de punto final.

Actualización (enero de 2023). Escribí un ensayo que brinda una descripción elemental de esta pregunta y su respuesta y asuntos relacionados en mi blog substack, The Book of Numbers .

Hice una pregunta sobre un hermoso video de geometría que compartiste ayer en Twitter.
¿Cuál es el tipo de orden del conjunto de los números naturales, cuando se escriben en orden alfabético?
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