Lógica de pruebas que involucran variables y declaraciones "para todos"

Las formas de concluir que se permiten en las demostraciones se reducen en última instancia a las llamadas reglas de inferencia . Su ejemplo deseado es de la forma

$$\forall G\colon \text{isGroup}(G)\to \text{isSet}(\{\,(g,g+g)\mid g\in G\,\})$$ por lo que uno trataría de probar $$\text{isGroup}(G)\to \text{isSet}(\{\,(g,g+g)\mid g\in G\,\})$$ y para esto trate de deducir la derecha de la izquierda, es decir, $$\text{isGroup}(G)\vdash \text{isSet}(\{\,(g,g+g)\mid g\in G\,\})$$ y luego hacer esto en términos de la prueba "real". Los detalles esenciales se esconden en la notación. El predicado "isGroup" se puede escribir en términos de "isSet" y los axiomas de grupo. Pero, ¿qué debería significar "isSet"? Cuando se trabaja en la teoría de conjuntos, normalmente "todo" es un conjunto y tal predicado no tiene sentido. En ese caso, uno más bien tiene que justificar cuál es la notación$\{\,(g,g+g)\mid g\in G\,\}$incluso significa. (O también se trabaja con clases, en cuyo caso "isSet" se formaliza de alguna manera y se puede tener una interpretación general de la notación$\{\,(g,g+g)\mid g\in G\,\}$al menos como clase). La justificación (al menos en$\mathsf{ZFC}$) es por supuesto el

Axioma Esquema de Reemplazo: Si$A$es un conjunto y$F$un predicado funcional, entonces existe un conjunto$B$tal que$y\in B\iff \exists x\in A\colon x=F(a)$.

Notación: Denotamos este conjunto (único por Axioma de Extensión) como$F[A]$o$\{\,F(x)\mid x\in A\,\}$

Cuando comenzamos una prueba de

$$\mathrm{For \ all \ groups} \ G, \ \mathrm{it \ holds \ that} \ \{(g,g+g) \in G \times G \ | \ g \in G\} \ \mathrm{is \ a \ set}$$ escribiendo $$\text{Let $G$ be a group}$$ estamos declarando la variable/marcador de posición$G$ser un grupo arbitrario (es decir, un miembro arbitrario del conjunto de todos los grupos), de modo que cada siguiente instancia de$G$se ajusta a la definición de un grupo y tiene sus propiedades inherentes, que luego empleamos para lograr el resultado requerido $$\{(g,g+g) \in G \times G \ | \ g \in G\} \ \mathrm{is \ a \ set}.$$

Porque$G$era solo un grupo arbitrario, habíamos estado razonando de manera suficientemente general, por lo que el resultado se aplica a cualquier grupo. En otras palabras, hemos probado que

$$\mathrm{For \ all \ groups} \ G, \ \ \{(g,g+g) \in G \times G \ | \ g \in G\} \ \mathrm{is \ a \ set}.$$

(La regla de inferencia anterior se llama Introducción Universal).

Más aquí: https://math.stackexchange.com/a/4234854/21813

Dos elementos de explicación: prueba condicional y generalización universal.

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• El enunciado que desea probar es de la forma:

$\forall x$SI$G(x) \rightarrow P(x)$.

• Para probar un enunciado condicional , asumes que el antecedente es verdadero y tratas de derivar el consecuente. Por la regla de la prueba condicional, esto equivale a mostrar que el antecedente implica el consecuente.

Por ejemplo, supongamos que quiero probar:$A\rightarrow (B\rightarrow A)$.

Primero asumo$A$es verdadero, es decir, me pongo en la situación en que el antecedente es verdadero (ya que un condicional no dice nada más que "en caso de que... sea verdadero, entonces... también es verdadero" ).

Entonces, bajo esta hipótesis, asumo que$B$es verdad. Bajo esta segunda suposición deduzco$A$( ya que$A$sigue siendo cierto en la situación hipotética en la que me encuentro).

Por lo tanto, puedo concluir, aún bajo mi suposición original, que$B$implica$A$. Y como he derivado esto suponiendo que$A$es cierta, significa que la hipótesis de que$A$es verdadero implica el condicional$A \rightarrow B$. Entonces he probado, no hipotéticamente, sino categóricamente, que$A \rightarrow (A \rightarrow B)$.

• Ahora, la declaración condicional que desea probar se cuantifica universalmente. Para llegar a un enunciado universal, deberá trabajar primero con un objeto arbitrario , y la hipótesis bajo la cual trabajará se referirá a este objeto arbitrario. Llama a este objeto$g$(o la letra que sea) y hacer la siguiente hipótesis:$G(g)$,$g$es un grupo (lo que equivale a decir que$g$es un conjunto con tales y tales propiedades...). Bajo esta hipótesis, derivar la oración$P(g)$, y luego use la prueba condicional para afirmar categóricamente:

SI$G(g)$ THEN $P(g)$.

• At this point your conclusion only holds for object $g$. But since $g$ is arbitrary and since you did not use any particular property of $g$ except that $g$ is a group, your derivations works for any $g$ whatever ( even a $g$ that is not a group, for that would make the antecedent false, and therefore the whole conditional true*).

• As a consequence, you are allowed to generalize ( using universal generalization) and to say : for all $x$ , if $x$ is a group , then ....

(*) Note . this is due to the truth table of the " if ... then" operator