¿Cuál es el propósito de la cuantificación sobre el conjunto vacío?

Esta pregunta es bastante corta, pero no pude encontrar la respuesta específica que estaba buscando en ningún lado.

Mi entendimiento hasta ahora: (Corríjame si me equivoco en algo de esto)

  • Puedo asumir cualquier afirmación PAG ( X ) para todos X ∈ ∅ ser cierto porque el conjunto vacío no contiene ningún elemento en primer lugar.
  • También puedo asumir cualquier afirmación q ( X ) ser falso para todos X ∈ ∅ por la misma razón.
  • un ejemplo seria ∀ METRO ⊆ ∅ dónde METRO ≠ ∅ , sostiene que METRO = ∅ . Esta declaración tiene que ser verdadera para todos los subconjuntos. METRO porque la premisa (no hay subconjuntos de ∅ que no son el conjunto vacío en sí mismos) es falso.

Mi pregunta: ¿Para qué sirve esto? ¿Es este comportamiento solo una propiedad trivial del conjunto vacío? El único uso que me viene a la mente es si quiero probar algo específico para el conjunto vacío en sí (por ejemplo, que ∅ es un ordinal).

¿Qué quiere decir con una función para ser "verdadero" o "falso"?
@Peter Asumí que la palabra "función" aquí debería ser (lógica) "predicado".
Edité la publicación y cambié la palabra función a declaración. También traté de dejar en claro lo que quería decir en el ejemplo.
No, no puede asumir que ninguna declaración sea falsa para todos. q ( X ) . DEBE asumir que todas las afirmaciones son verdaderas para todos X ∈ ∅ . Eso significa que tanto un enunciado como la negación de un enunciado son verdaderos para todos X ∈ ∅ pero la negación de que un enunciado sea verdadero sobre un conjunto vacío no implica que un enunciado sea falso sobre un conjunto vacío.
Sucede que cuantificar sobre el conjunto vacío puede dar lugar a algunas bromas, por ejemplo, "durante todos mis años como rey de Inglaterra, fui un gobernante perfecto".
¡Ese es un buen propósito! @FiMePr

Respuestas (1)

Ten cuidado: PAG ( X ) no es una declaración, a menos que X es una constante Si X es una variable, entonces PAG ( X ) es una función proposicional y su valor de verdad es, en general, indeterminado.

La declaración: ∀ X PAG ( X ) , es falso, si hay valores de X , para cual, PAG ( X ) Es falso. La declaración: " ∀ X ∈ ∅ PAG ( X ) ", es siempre cierto, ya que ∅ no tiene miembros. Pero, esto es en realidad una abreviatura de:

∀ X [ X ∈ ∅ → PAG ( X ) ]
Esto es cierto, porque si A siempre es falso, A → B siempre es verdad Entonces, cuando dices:

Puedo asumir cualquier afirmación PAG ( X ) para todos X ∈ ∅ ser cierto porque el conjunto vacío no contiene ningún elemento en primer lugar.

Esto no está bien. no debes asumir PAG ( X ) a decir verdad. Solo debe asumir " Para todos X ∈ ∅ , PAG ( X ) " para ser verdad. Del mismo modo, no debe asumir q ( X ) ser falso No tiene valor de verdad. Además, si se supone que " Para todos X ∈ ∅ , q ( X ) " es falso, tu error. Esta es siempre una declaración verdadera.

Tu ejemplo, formalmente expresado, da lo siguiente:

∀ METRO [ METRO ⊆ ∅ ∧ METRO ≠ ∅ → METRO = ∅ ]

Desde " METRO ⊆ ∅ ∧ METRO ≠ ∅ " siempre es falso (para cada valor de METRO ), entonces " METRO ⊆ ∅ ∧ METRO ≠ ∅ → METRO = ∅ " siempre es cierto. Por lo tanto, lo anterior es una declaración verdadera. Pero a partir de esto, nunca podría concluir: " METRO ≠ ∅ y METRO = ∅ ".

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