Notaciones equivalentes aparentes para el axioma del infinito

Estoy empezando a construir los sistemas de números basados ​​en los axiomas de la teoría de conjuntos ($\mathsf{ZF}$). En consecuencia, el axioma del infinito no es más que suponer la existencia de$\mathbb{N}$(por supuesto, el axioma se formula en términos de la existencia de un conjunto inductivo). Ahora la declaración original en términos de lógica es

$\exists I(\emptyset \in I\wedge(\forall x(x\in I \longrightarrow x^{+}\in I)))$, comprensión$x^{+}:=x\cup\{x\}$.

Esta es la forma en que lo aprendí primero. Después de algunos días de haberlo aprendido, solo me preocupaba entender el concepto. Pero ahora que trato de usarlo nuevamente, se me ocurrió (no sé por qué, tal vez sea por la similitud con la notación de los otros axiomas en mi intento de recordar la notación original) con estas declaraciones aparentemente equivalentes:

$1) \exists I\forall x(x\in I\longrightarrow (x=\emptyset \vee x^{+}\in I))$

$2) \exists I\forall x(x\in I\longrightarrow (\emptyset \in I\wedge x^{+}\in I))$

Si pongo la declaración original en la forma equivalente

$\exists I\forall x(\emptyset \in I\wedge(x\in I \longrightarrow x^{+}\in I))$

Luego, para probar la equivalencia, probablemente debería ocuparme de la parte principal que está ligada a los cuantificadores. Entonces quiero preguntar cómo probar que mis declaraciones son equivalentes o no, lógicamente hablando.

Nota : Intuitivamente ambas afirmaciones son falsas porque podría formar I=$\emptyset$y esto no es un conjunto inductivo.