Axioma 3. Esquema de comprensión

Lo siguiente es del libro de Kenneth Kunen - Teoría de conjuntos, una introducción a las pruebas de independencia.

El Axioma de Comprensión pretende formalizar la construcción de conjuntos de la forma$\{x:P(x)\}$dónde$P(x)$denota alguna propiedad de$x.$Dado que la noción de propiedad se hace rigurosa a través de fórmulas, es tentador establecer como axiomas enunciados de la forma

$$\exists y \forall x (x\in y \iff \phi)$$ dónde$\phi$es una fórmula. Desafortunadamente, tal esquema es inconsistente por la famosa paradoja de Russell: Si$\phi$es$x\in x,$entonces este axioma nos da un$y$tal que $$\forall x(x\in y \iff x\notin x),$$ De dónde$y\in y \iff y\notin y.$Afortunadamente en aplicaciones matemáticas es suficiente poder usar una propiedad$P(x)$para definir un subconjunto de un conjunto dado, por lo que postulamos la comprensión de la siguiente manera.

Axioma 3. Esquema de comprensión. Para cada fórmula$\phi$sin$y$libre, la clausura universal de lo siguiente es un axioma

$$\exists y \forall x(x\in y \iff x\in z \,\wedge \phi).$$

Mi pregunta: ¿Por qué es que Axiom$3$puede prevenir la paradoja de Russel en comparación con la primera definición propuesta? ¿No podemos argumentar que si$\phi$es$x\notin x$en axioma$3$y pensar en Russel Paradox de nuevo? ¿Por qué la introducción de$z$en axioma$3$¿útil?