Un enfoque diferente en la distribución de 888 bolas distintas en 666 cajas distintas, de modo que cada caja tenga al menos 111 bolas.

Question

Un enfoque diferente en la distribución de 888 bolas distintas en 666 cajas distintas, de modo que cada caja tenga al menos 111 bolas.

Matemáticas
bolas en contenedores
combinatoria
coeficientes binomiales

Ekaveera Gouribhatla

Encuentre el número de formas en la distribución $8$ bolas distintas en $6$ cajas distintas tales que hay al menos $1$ bola en cada caja.

Conocemos bien el principio tradicional de Inclusión-Exclusión para resolver esto y surgirá como $191520$ maneras.

Probé de esta manera:

Cuando distribuimos $8$ bolas en $6$ cajas tenemos dos casos posibles

Caso $1.$ hay exactamente $2$ cajas con $2$ bolas cada uno

Caso $2.$ hay exactamente $1$ Caja con $3$ bolas en él.

En caso $1$ , la distribución se hace eligiendo $2$ cajas de $6$ cajas y $2$ bolas de $8$ bolas y esas dos bolas se pueden arreglar en $2!$ maneras. Pero requiero otras dos bolas de quedarme $6$ bolas que se colocarán en cada una de estas dos cajas que se puede hacer en $\binom{6}{2} \times 2!$ maneras. finalmente restante $4$ las bolas se pueden distribuir en el resto $4$ cajas en $4!$ maneras. Así que el número total de formas para Case $1.$ es

(\binom{6}{2}) \times (\binom{8}{2}) \times 2! \times (\binom{6}{2}) \times 2! \times 4! = 604800

$\binom{6}{2} \times \binom{8}{2} \times 2! \times \binom{6}{2} \times 2! \times 4!=604800$

En caso $2$ , el número de formas es

(\binom{6}{1}) \times (\binom{8}{3}) \times 5! = 40320

$\binom{6}{1} \times \binom{8}{3} \times 5!=40320$

Estoy bastante seguro de que el valor obtenido para Case $2.$ es correcto. pero no pude encontrar dónde me equivoqué en Case $1.$

barak manos

Su descripción es algo confusa. Usted dice: "Conocemos bien el principio tradicional de inclusión y exclusión para resolver esto y surgirá como

191520

$191520$ maneras". Entonces, ¿cómo puede el valor diferente que ha obtenido para el caso #

2

$2$ puede ser correcto???

Respuestas (2)

Un enfoque diferente en la distribución de 888 bolas distintas en 666 cajas distintas, de modo que cada caja tenga al menos 111 bolas.

Su descripción es algo confusa. Usted dice: "Conocemos bien el principio tradicional de inclusión y exclusión para resolver esto y surgirá como $191520$ maneras". Entonces, ¿cómo puede el valor diferente que ha obtenido para el caso # $2$ puede ser correcto???

Masacroso · Answer 1

En el caso 1 debes elegir primero $2$ cajas encima $6$ es decir $C(6,2)$ y después para la primera casilla que elijas $(8\cdot 7)/2!$ y después $(6\cdot 5)/2!$ para la segunda caja, y en tercer lugar se cuentan las permutaciones de las otras cajas que es $4!$ , entonces el total es $\binom{6}{2}^2\cdot \binom{8}{2}\cdot4!=15^2\cdot 28\cdot 24=151200$ .

Y $151200+40320=191520$ como se indica.

Henno Brandsma · Answer 2

El caso 1 es incorrecto: eliges 2 cajas de 6, en $\binom{6}{2}$ maneras. Estas cajas son diferentes, digamos cajas $i < j$ . primer cuadro de llenado $i$ con 2 bolas de 8, entonces $\binom{8}{2}$ maneras. Luego llene el cuadro $j$ con 2 de 6, entonces $\binom{6}{2}$ maneras. entonces nos quedamos $4!$ formas para las 4 bolas restantes en las 4 cajas restantes.

Solo importa que las bolas digan que la 7 y la 5 están en caja $i$ , no hay orden dentro de esa caja! Entonces obtenemos un número 4 veces más pequeño, y luego se verifica con tu otra respuesta.

Un enfoque diferente en la distribución de 888 bolas distintas en 666 cajas distintas, de modo que cada caja tenga al menos 111 bolas.

Ekaveera Gouribhatla

barak manos

Respuestas (2)

Masacroso

Henno Brandsma

¿Trayectorias de coeficientes binomiales?

Simplificando el producto de múltiples expansiones binomiales

Prueba combinatoria de la identidad 3n=∑nk=0(nk)2k3n=∑k=0n(nk)2k3^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 2^k

Dos relaciones en serie, cada una implica a la otra - del libro de particiones de Andrews

Pregunta de prueba de suma binomial/combinatoria

Suma del producto de coeficientes binomiales: ∑nk=0(−1)k(nk)(n+kk)=(−1)n∑k=0n(−1)k(nk)(n+kk)=(− 1)n\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{n + k}{k} = (-1)^n

cálculo de rutas permitidas

Probabilidad de sacar 5 cartas del mazo barajado

Muestra la identidad: ∏i=12n+1(x+n+1−i)=x∏i=1n(x2−i2)∏i=12n+1(x+n+1−i)=x∏i= 1n(x2−i2)\prod^{2n+1}\limits_{i=1}(x+n+1-i) = x\prod^{n}\limits_{i=1}(x^2- yo ^ 2)

Prueba combinatoria (y algebraica) de una identidad que involucra números Lah