¿Se cumple esta relación para la derivada temporal de un operador?

La derivación del teorema de Ehrenfest que he visto usa la regla de la cadena a través$\frac{d}{dt}\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$dando tres términos:$(\frac{d}{dt}\langle\psi|)\hat{A}|\psi\rangle + \langle\psi|\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}|\psi\rangle + \langle\psi|\hat{A}(\frac{d}{dt}|\psi\rangle)$Entre estos, el del medio incluye una derivada del operador$\hat{A}$.

Después de usar el TDSE, finalmente obtenemos:

$\frac{d}{dt}\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle=\frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{A},\hat{H}]\rangle+\langle\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle \tag{0}$

Ahora, debido a mi falta de intuición sobre lo que significa la derivada de un operador, traté de aplicar la regla de la cadena de esta manera:

$\frac{d}{dt}\langle\psi|\hat{A}\psi\rangle = (\frac{d}{dt}\langle\psi|)\hat{A}\psi\rangle + \langle\psi|\frac{d}{dt}(\hat{A}|\psi\rangle) \tag{1}$

Ahora si$\frac{d}{dt}$es solo otro operador, debería cumplirse lo siguiente:

$\frac{d}{dt}\hat{A} = [\frac{d}{dt},\hat{A}]+\hat{A}\frac{d}{dt} \tag{2}$

Por lo tanto:

$\frac{d}{dt}\langle\psi|\hat{A}\psi\rangle = (\frac{d}{dt}\langle\psi|)\hat{A}\psi\rangle + \langle\psi|\hat{A}\frac{d}{dt}|\psi\rangle + \langle\psi|[\frac{d}{dt},\hat{A}]|\psi\rangle \tag{3}$

Ahora, usando el TDSE, el primer y segundo término se pueden escribir así:

$(\frac{d}{dt}\langle\psi|)\hat{A}\psi\rangle + \langle\psi|\hat{A}\frac{d}{dt}|\psi\rangle = \langle\psi|\frac{-\hat{H}}{i\hbar}\hat{A}|\psi\rangle + \langle\psi|\hat{A}\frac{\hat{H}}{i\hbar}|\psi\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle\psi|[\hat{A},\hat{H}]|\psi\rangle \tag{4}$

De este modo:

$\frac{d}{dt}\langle\psi|\hat{A}\psi\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle\psi|[\hat{A},\hat{H}]|\psi\rangle + \langle\psi|[\frac{d}{dt},\hat{A}]|\psi\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{A},\hat{H}]\rangle + \langle[\frac{d}{dt},\hat{A}]\rangle \tag{5}$

Ahora, si se cumple el teorema de Ehrenfest y mi derivación es correcta, esto parecería sugerir que$\langle\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle = \langle[\frac{d}{dt},\hat{A}]\rangle$

¿Es correcta esta relación? ¿Puedo, en general, entender la derivada temporal de un operador en términos de su conmutador con$\frac{d}{dt}$?