Intercambio del valor esperado del operador derivado con el derivado del valor esperado

Mi pregunta está un poco relacionada con esta . quiero saber si

d d k ⟨ F ^ k ⟩ ψ k = ⟨ d d k F ^ k ⟩ ψ k

se cumple para algún parámetro similar a un número cuántico k y cualquier operador F ^ k . estoy usando la letra k porque podría ser alguna variable similar al momento del cristal en la física del estado sólido. Tenga en cuenta que los estados | ψ k ⟩ "depender" de este número cuántico. Se puede suponer que es continuo para permitir que la diferenciación esté bien definida. No es un "parámetro externo", es decir, algo sobre el sistema que se puede cambiar. ¿Eso cambia si esto se mantiene o no?

Por supuesto, esto se puede reescribir como

d d k ⟨ F ^ k ⟩ ψ k = ⟨ d d k F ^ k ⟩ ψ k + d ⟨ ψ k | d k F ^ k | ψ k ⟩ + ⟨ ψ k | F ^ k d | ψ k ⟩ d k

Pero no sé cómo continuar desde allí. ¿Hay alguna manera de mostrar esto?

Expandir | ψ k ⟩ en estados propios de F ^ y recordar la teoría de la perturbación de primer orden.
@CosmasZachos Puedo ver dónde puede ayudar la expansión, pero no cómo ayuda la teoría de la perturbación.
La derivada alrededor de un punto es esencialmente una expansión de primer orden en la excursión alrededor de ese punto, ¿no?
Sugerencia: antes de abstracciones sin sentido, experimente con F ^ = σ 3 + ϵ σ 1 en un par de estados. Intentar | ψ ⟩ = ( porque ⁡ θ − ϵ pecado ⁡ θ , pecado ⁡ θ + ϵ porque ⁡ θ ) T . ¿Se cumple tu conjetura?
@CosmasZachos ¿Te refieres a la segunda ecuación o a la primera? Por qué necesito | ψ ⟩ tener este formulario en este caso? ¿O piensas usar eso para la expansión?
Tu segunda ecuación no es excepcional y es trivial. La primera es una conjetura. Pruebe cualquiera y todas las funciones de onda. Te di uno simple.
@CosmasZachos haría θ entonces sea el parámetro k de mi pregunta? ¿Tengo que tomar ϵ → 0 ¿al final?

Respuestas (1)

Aquí hay una pista para ayudar a su intuición, antes de lanzarse a abstracciones y generalizaciones.

Una derivada es ( F ^ ϵ − F ^ 0 ) / ϵ al orden más bajo en ε .

Llevar

F ^ ϵ = σ 3 + 3 ϵ σ 1   .

Considere el estado

| ψ ϵ ⟩ = ( porque ⁡ 𝜃 − 𝜖 pecado ⁡ 𝜃 , pecado ⁡ 𝜃 + 𝜖 porque ⁡ 𝜃 ) T ,
normalizado al orden más bajo en ε .

Entonces estás inspeccionando la desaparición o no de la expresión.

( ⟨ ψ ϵ | σ 3 + 3 ϵ σ 1 | ψ ϵ ⟩ − ⟨ ψ 0 | σ 3 | ψ 0 ⟩ ) − ⟨ ψ ϵ | 3 ϵ σ 1 | ψ ϵ ⟩   .
Pista: ( 2 ϵ porque ⁡ 𝜃 pecado ⁡ 𝜃 ) − 6 ϵ porque ⁡ 𝜃 pecado ⁡ 𝜃 = − 4 ϵ porque ⁡ 𝜃 pecado ⁡ 𝜃 ≠ 0 .

Intercambio del valor esperado del operador derivado con el derivado del valor esperado
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