¿Los derivados de los operadores actúan sobre el propio operador o se "agregan a la cola" de los operadores?

¿Cómo funcionan las derivadas de los operadores? ¿Actúan sobre los términos de la derivada o simplemente se "añaden a la cola"? ¿Hay una forma conceptual de entender esto?

Por ejemplo: digamos que tenía el operador X ^ = X . haría d d X X ^ ser 1 o d d X X ? La diferencia es que al tomar el valor esperado, ¿sería el integrando ψ ∗ ψ o ψ ∗ ( ψ + X d ψ d X ) ?

Mi pregunta específica es sobre el efecto de banda en sólidos. Para comprender mejor el sistema, hemos utilizado el teorema de Bloch para expresar la función de onda en la forma ψ = mi i k X tu k ( X ) dónde tu k ( X ) es alguna función periódica. con el hecho de que ψ resuelve la ecuación de Schrödinger, hemos podido derivar un "Hamiltoniano efectivo" que tu k es una función propia de, H k = − ℏ 2 2 metro ( d d X + i k ) 2 + V . Mi siguiente problema es encontrar ⟨ d H z d k ⟩ , lo que llevó a esta pregunta.

Parte de mi razonamiento: un operador es una función sobre funciones, por lo que, como todas las demás funciones, podemos escribirlo como F ( gramo ( X ) ) . Cuando tomas la derivada de esta función, obtienes F ′ ( gramo ( X ) ) ∗ gramo ′ ( X ) . Así que mirando al operador, X ^ , podemos decir que es una función sobre ψ ( X ) , X ^ ( ψ ) = X ψ . Entonces tomando la derivada nos da:

d X ^ d X = ψ + X d ψ d X
pero también podrías decir que X ^ = X (no es una función), entonces
d X ^ d X = d d X X = 1
Ahora me inclino a decir que X ^ es una función, pero parece que para esta pregunta, es mejor simplemente tratarla como una constante e ingenuamente (en mi opinión) tomar su derivada. Entonces de que manera lo hago?

Respuestas (2)

Si dejamos de lado varias sutilezas relacionadas con los operadores, el núcleo de la pregunta de OP (v4) parece reducirse a lo siguiente.

Qué quiere decir

(0) d d X F ( X ) ?
¿Nos referimos a la derivada
(1) F ′ ( X ) ,
o nos referimos al operador diferencial de primer orden que se puede reescribir en orden normal 1 forma como
(2) F ′ ( X ) + F ( X ) d d X ?

La respuesta es: depende del contexto. Diferentes autores significan cosas diferentes. Uno tendría que rastrear cuidadosamente las definiciones del autor para estar seguro. Sin embargo, si se escribe como d F ( X ) d X en cambio, siempre significa F ′ ( X ) , o equivalente, [ d d X , F ( X ) ] .

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1 Un operador diferencial es, por definición , de orden normal , si todas las derivadas de cada término están ordenadas a la derecha.

La regla general es que puedes diferenciar cualquier función con respecto a su argumento.

En tu segundo ejemplo, el hamiltoniano

H k = − ℏ 2 2 metro ( d d X + i k ) 2 + V
es una función de k : por cada real k , obtienes un operador diferencial H k . Por lo tanto (suponiendo que todo sea agradable, regular y diferenciable, por supuesto) puede diferenciar H k con respecto a k . En casos como estos, la diferenciación es realmente noble: la regla de la cadena y la regla del producto generalmente se cumplen, e incluso la mayor parte del cálculo vectorial sigue siendo aplicable. Por supuesto, debe tener cuidado cuando haya observables que no viajen al trabajo: por ejemplo, mientras d d t mi t A ^ = A ^ mi t A ^ es verdad, d d t mi B ^ + t A ^ debe ser tratado con cierto cuidado cuando [ A ^ , B ^ ] ≠ 0 .

Su primer ejemplo, por otro lado, no vuela del todo. X = X ^ es un operador que no depende de ningún parámetro; por lo tanto no se puede diferenciar y d X d X no tiene sentido. Tenga en cuenta, sin embargo, que los objetos como ⟨ X | ψ ⟩ son funciones de X y por lo tanto se pueden diferenciar con respecto a X . Así podría, por ejemplo, ⟨ X | X ^ | ψ ⟩ , pero solo debido a la dependencia del sostén en sí mismo del parámetro X . También puedes diferenciar el sujetador:

− i d d X ⟨ X | = ⟨ X | pags ^ .
Pero X ^ sí mismo, sin embargo, usted no puede.

No X ^ depender de X ? Así que cuando tomas la derivada con respecto a X , debe significar algo?
No. X ^ : H → H es solo un operador y en cierto sentido abarca todos X ∈ R . El punto es que hay un sostén ⟨ X | por número real X , que no es el caso de X ^ .
¿Los derivados de los operadores actúan sobre el propio operador o se "agregan a la cola" de los operadores?
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