¿Cómo trabajo con ∇2+k2−−−−−−−√∇2+k2\sqrt{\nabla^2+k^2 } en ψψ\psi?

¿Cómo funciona el operador del ( ∇ ) actuar sobre la función de onda aquí:

( ∇ 2 + k 2 ) Exp ⁡ ( − i k z ) ψ .

Estoy tratando de resolver una ecuación que tiene este factor. k es una constante Inicialmente dejé la parte como estaba y resolví el resto de la ecuación, pero no obtuve la respuesta exacta.

Sin más contexto sobre su problema, es difícil decirle cuál es la forma correcta de proceder. Véase, por ejemplo, la historia de la ecuación de Dirac , que trata inicialmente con un operador similar.

Respuestas (1)

Este operador es mucho más fácil de entender si trabajas con la transformada de Fourier,

ψ ( r → ) = ∫ d 3 pag mi i pag → ⋅ r → ψ ~ ( pag → )
la multiplicacion en mi − i k → ⋅ r → (con k X = k y = 0 , k z = k en su caso) es equivalente a,
mi − i k → ⋅ r → ψ ( X , y , z ) = ∫ d 3 pag mi i pag → ⋅ r → ψ ~ ( pag → + k → )
La idea principal es que esos exponentes son funciones propias del operador de Laplace Δ = ∇ 2 ,
Δ mi i pag → ⋅ r → = − ( pag 2 ) mi i pag → ⋅ r →
Entonces su operador actúa como,
Δ + k 2 mi − i k → r → ψ ( r → ) = ∫ d 3 pag k 2 − pag 2 mi i pag → ⋅ r → ψ ~ ( pag → + k → )
Si tal representación es de alguna utilidad depende del resto de la ecuación, por supuesto.

Sin embargo, para ser precisos, con el fin de probar que Δ + k 2 actúa como un múltiplo de la identidad en los estados originales de Δ aún se debe usar la expansión de Taylor de la raíz cuadrada de un operador, que es equivalente a simplemente usar la expansión de Taylor de la raíz cuadrada sin usar la transformada de Fourier.
@GennaroTedesco no X ¿No tienes una expansión de Taylor? Qué quieres decir exactamente?
@knzhou Claro, lo hace: solo quería enfatizar que tomar la transformada de Fourier no oculta el proceso de tomar la expansión de un operador.
@GennaroTedesco Bueno, si quieres representar X = ∑ k a k X k tal representación no existe. La raíz cuadrada del operador. A se define como un operador B tal que B 2 = A . La forma en que lo tomo es la estándar para obtener la raíz cuadrada principal que generalmente interesa.
@OON "tal representación no existe" , bueno, excepto que sí, se define a través del teorema espectral. Declaraciones como B ∣ B 2 = A siempre debe ir acompañado de sus dominios correspondientes, etc.: su respuesta es correcta, solo quería señalar que no es diferente de mirar la descomposición espectral en sí.
@GennaroTedesco Seguro que deberías hablar sobre dominios, etc. El punto es diferente. Si insiste en que tal representación existe, escríbalo . Ni siquiera para operadores, solo como una representación de la función numérica. X . Seguro que puedes expandirte como una serie cerca X ≠ 0 pero para los operadores, obtienes un montón de series que deben demostrarse individualmente que poseen la propiedad de B 2 = A . Su primer comentario conduce a algo salvaje, mientras que la diagonalización simultánea no depende en absoluto de la representación de la serie.
@OON Estoy de acuerdo con usted, pero todas estas complicaciones salvajes se resuelven exactamente representando primero a los operadores en su espectro y luego extendiéndolos a cualquier función en el dominio. Has probado correctamente la acción del operador sobre su base, pero la extensión completa a cualquier función en el dominio es la parte no trivial. Según la función numérica de la raíz cuadrada, simplemente tome un vecindario donde la función sea analítica y calcule la expansión allí (no entiendo esa parte del comentario).
¿Cómo trabajo con ∇2+k2−−−−−−−√∇2+k2\sqrt{\nabla^2+k^2 } en ψψ\psi?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v