¿Se calcula la capacitancia sobre un volumen finito o sobre todo el espacio?

Question

¿Se calcula la capacitancia sobre un volumen finito o sobre todo el espacio?

Kordon

¿La capacitancia de un sistema de conductores se calcula en un volumen finito o en todo el espacio?

Mi pregunta está motivada por el siguiente problema.

un volumen $V$ en el vacío está delimitado por una superficie $S$ que consta de varias superficies conductoras separadas $S_i$ . Un conductor se mantiene a potencial unitario y todos los demás conductores a potencial cero. Demuestre que la capacitancia de un conductor es
$C = ϵ_{0} \int_{V} {| \nabla Φ |}^{2} d^{3} X$ $C = \epsilon_0 \int_V \left| \nabla \Phi \right|^2 d^3x$ dónde $\Phi(\mathbf{x})$ es la solución para el potencial.

(Fuente: Problema 1.17 en Jackson, 3ra ed.)

La energía potencial total del sistema es,

W = \sum_{i}^{norte} \sum_{j}^{norte} \frac{1}{2} C_{i j} V_{i} V_{j} = \frac{1}{2} C_{11} V_{1}^{2} = \frac{1}{2} C

$W = \sum_i^n \sum_j^n \frac{1}{2} C_{ij} V_i V_j = \frac{1}{2}C_{11} V_1^2 = \frac{1}{2} C$

Desde director $1$ se mantiene a potencial unitario y todos los demás se mantienen a potencial cero.

Más generalmente, la energía potencial de un sistema es,

W = \frac{ϵ_{0}}{2} \int {| mi |}^{2} d^{3} X

$W = \frac{\epsilon_0}{2} \int \left| \mathbf{E} \right|^2 d^3x$ Igualando las dos últimas expresiones se obtiene,

C = ϵ_{0} \int {| \nabla Φ |}^{2} d^{3} X

$C = \epsilon_0 \int \left| \nabla \Phi \right|^2 d^3x$ Esta integral es sobre todo el espacio, no solo en el volumen

V

$V$ . De hecho, si esta integral se simplifica a poco más del volumen

V

$V$ , ¿no implicaría eso que el campo fuera de la superficie es

0

$0$ en todas partes (ya que cualquier contribución adicional a esta integral es definida positiva)? Mi intuición me dice que el campo no es cero fuera de los conductores porque hay una diferencia de potencial entre infinito (definida como

0

$0$ ) y uno de los conductores (a potencial unitario), por lo que las líneas de campo deben alejarse de la superficie con potencial unitario y fluir hacia el infinito con un potencial menor (cero).

Supongo que hay un problema con la contribución de energía propia oculta en la integral de energía en todo el espacio. Si este es el caso, ¿alguien tiene una explicación intuitiva de por qué la contribución de energía propia existe solo fuera del volumen? $V$ ?

Mis preguntas:

¿El campo está fuera de la superficie conductora 0? Si es así, ¿por qué?
¿Falta algún pequeño detalle que prohíba este enfoque de solución?

Kordon

@Angelika, la superficie

S

$S$ , que encierra el volumen

V

$V$ , consta de varias superficies conductoras separadas

S_{i}

$S_i$ .

Respuestas (3)

¿Se calcula la capacitancia sobre un volumen finito o sobre todo el espacio?

@Angelika, la superficie $S$ , que encierra el volumen $V$ , consta de varias superficies conductoras separadas $S_i$ .

el te es vida · Answer 1

Steve B tiene razón. Sólo quiero incluir un diagrama. Puedes ver que la superficie $\rm S$ formado por las superficies conductoras $\rm S_1, S_2, S_3,...., S_i$ encerrando el volumen $\rm V$ .

Suponer $\rm S_1$ está a potencial unitario y todos los demás están a potencial cero. Si $\rm S_1$ tiene $\rm Q$ cantidad de carga, entonces se induce una cantidad igual de carga negativa en los otros conductores. Entonces, la carga neta en $\rm S$ es cero El flujo eléctrico a través de una superficie gaussiana hecha justo afuera $\rm S_3$ es por tanto cero. No lo sabemos y no importa cómo se distribuyan los cargos en $\rm S_i's$ . Dado que el campo eléctrico es perpendicular a la superficie de un conductor, por lo tanto, el campo eléctrico fuera de la superficie conductora $\rm S_3$ también es cero.

Como ha dicho Steve B si se diera que la superficie $\rm S$ tiene una carga neta distinta de cero, entonces tendríamos que calcular la capacitancia de $\rm S$ que se llama su propia capacitancia. Por ejemplo, la autocapacitancia de una esfera conductora se calcula de esta manera: primero se calcula la capacitancia de un capacitor esférico y luego en el límite del radio de la placa exterior que va al infinito se obtiene la capacitancia de la esfera conductora interna.

steve byrnes · Answer 2

Sí, el campo fuera de la superficie conductora es 0. Si la carga neta dentro de la superficie conductora es 0, entonces los campos fuera de la superficie son cero. Es básicamente el efecto de la jaula de Faraday.

Y la carga neta dentro de la superficie conductora es 0, porque esa es la definición de un capacitor.

Podría preguntar: "Um, bueno, pero ¿y si el cargo neto no es cero?" En ese caso, habría dos condensadores relevantes en la pregunta:

El condensador n.º 1 es el condensador sobre el que le pregunta Jackson,
El capacitor #2 es el capacitor donde una placa es la superficie S y la otra es el infinito.

Decir "S lleva una carga neta distinta de cero" es exactamente lo mismo que decir "Hemos cargado el condensador #2".

Dado que la pregunta es específicamente sobre la capacitancia del condensador n.º 1, debe suponer que otros condensadores, como el condensador n.º 2, no están cargados.

"Si la carga neta dentro de la superficie conductora es 0, entonces los campos fuera de la superficie son cero". Debo estar perdiendo algo, la ley de Gauss dice que el flujo del campo eléctrico a través de la superficie es cero, no que el campo sea cero. ¿Podrías elaborar más?
El campo eléctrico es perpendicular a la superficie de un conductor, por lo que también es cero.

Prish Chakraborty · Answer 3

Según Griffith, la integral sobre el volumen, que se extiende más allá del volumen y, efectivamente, en todo el espacio, es solo una conveniencia matemática: $\mid E\mid^2$ disminuye rápidamente a medida que aumenta la distancia $(\propto\frac{1}{r^4})$ . Entonces, si tomamos todo el espacio, las contribuciones de la integral más allá del volumen que nos interesa son insignificantes, pero eso no significa que el campo sea $0$ .

Así que sí, hay un campo más allá $V$ ; simplemente ignoramos sus efectos.

¿Se calcula la capacitancia sobre un volumen finito o sobre todo el espacio?

Kordon

Kordon

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el te es vida

steve byrnes

Kordon

el te es vida

Prish Chakraborty

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