Capacidad de dos cilindros paralelos

Question

Capacidad de dos cilindros paralelos

Verktaj

Tengo algunos problemas con el signo de la solución que encontré. El problema es

Dos conductores cilíndricos de radio R, separados por una distancia $2d$ , están cargados con una diferencia de potencial $V$ . Encuentre la capacitancia por unidad de longitud para el sistema. Suponer que $2d\gg R$ .

Mi intento es:

ϕ_{A} - ϕ_{B} = - \int_{\infty}^{A} mi (X) \cdot d s + \int_{\infty}^{B} mi (X) \cdot d s = \int_{A}^{B} mi (X) \cdot d s = \int_{A}^{B} mi (X) (- \hat{i}) \cdot d X (- \hat{i}) = \int_{A}^{B} mi (X) d X

$\phi_A-\phi_B=-\int_\infty^A\mathbf{E}(x)\cdot d\mathbf{s}+\int_\infty^B\mathbf{E}(x)\cdot d\mathbf{s}=\int_A^B\mathbf{E}(x)\cdot d\mathbf{s}=\int_A^B E(x)(-\hat{\mathbf{i}})\cdot dx(-\hat{\mathbf{i}})\\=\int_A^B E(x) dx$ Por la figura, sé que

A = d - R

$A=d-R$ y

B = - d + R

$B=-d+R$ y por la Ley de Gauss el campo eléctrico en

x

$x$ es

mi = \frac{q}{2 π ϵ_{0} L} (\frac{1}{d + X} + \frac{1}{d - X}) (- \hat{i})

$\mathbf{E}=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0 L}\left(\frac{1}{d+x}+\frac{1}{d-x}\right)(-\hat{\mathbf{i}})$ Por lo tanto la diferencia de potencial es

ϕ_{A} - ϕ_{B} = \frac{q}{2 π ϵ_{0} L} en [\frac{R}{2 d - R}]

$\phi_A-\phi_B=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0 L}\ln\left[\frac{R}{2d-R}\right]$

Mi problema es que el potencial cercano $A$ es mayor que el potencial de $B$ , de modo que la diferencia $\phi_A-\phi_B$ es positivo, pero el logaritmo en el resultado es negativo porque $R<(2d-R)$ .

¿Qué me estoy perdiendo?

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Capacidad de dos cilindros paralelos

Jahr · Answer 1

Es porque estás considerando el signo negativo dos veces, o consideras el signo en los límites de integración o en el diferencial de desplazamiento, pero no en ambos. Para evitar este problema, siempre trato de considerar el signo en los límites de la integral de acuerdo con el camino que estoy siguiendo, y uso el diferencial de desplazamiento como positivo.

Capacidad de dos cilindros paralelos

Verktaj

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Jahr

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