¿Cómo calcular el trabajo de las fuerzas electrostáticas en un condensador de placas paralelas?

Creo que tu enfoque no está mal; sin embargo, en sus cálculos está suponiendo que la diferencia de potencial entre las placas,$V$, es constante: lo que permanece constante es la carga en cada placa. Entonces la ecuación se convierte en:

$$W=\int_0^d {{q^2} \over {2\epsilon_0A}} \;\mathrm{dx}={{q^2d} \over {2\epsilon_0A}}$$ Desde $C=\epsilon_0A/d$obtenemos $$W={q^2\over{2C}}={1\over2}CV^2$$ Cuando supones implícitamente $V$es constante, el campo eléctrico cuando $d=0$se vuelve infinito, por lo que la integral no converge.

Como marcó John Rennie, el resultado debería ser$\tfrac{1}{2}CV^2$.

Déjame deducir esto por ti;

Comencemos con un condensador sin carga y, de alguna manera, quitas un electrón de una placa y lo transfieres a la otra placa. Apenas tiene que hacer ningún trabajo para transferir el primer electrón, pero a medida que continúa gradualmente el proceso, el campo que emana debido a la transferencia de carga negativa en la otra placa y el aumento de carga positiva en la primera placa le impide transferir cualquier otra carga negativa. Por lo tanto, a medida que avanza el proceso, debe hacer un trabajo mayor que la vez anterior.

Ahora, el trabajo que realiza contra el campo se almacena como energía potencial en el sistema como$U$.

Deducción de$U = \frac{CV^2}{2}$:

Supongamos que en un instante dado, una carga$q^*$ha sido transferido de una placa a la otra. La diferencia de potencial que se desarrollará después de la transferencia es$V^* ={q^*\over C}$. . Si luego eliges otra vez alguna carga infinitesimal$dq$y transferirlo, entonces tienes que hacer un trabajo extra de$dw = V^* dq = {q^*\over C} dq$. Entonces, el trabajo total realizado contra la fuerza electrostática para generar una carga negativa de magnitud$q$a la segunda placa es:

$$W = \int_0^W dw = \frac{1}{C} \int_{0}^{q} q^* dq = \frac{q^2}{2C} = \frac{(CV)^2}{2C} = \frac{CV^2}{2}\implies U = \frac{\epsilon_0\cdot A \cdot V^2}{2d}$$ .

Segundo enfoque para deducir$U = \frac{1}{2}CV^2$:

Vi que OP ha usado el experimento mental de desplazar una placa de otra; así que creo que esta derivación debe mencionarse para evitar toda confusión.

Sea un condensador que tenga un área de superficie de cada placa como$A$. Supongamos que la primera placa está privada de$-Q$; por lo que ahora está cargado positivamente de magnitud$Q$. El campo eléctrico debido a esta placa positiva es$E_{+} = \frac{q^*}{2A\epsilon_0}$(considerando la placa lo suficientemente grande como para despreciar los puntos finales). Por lo tanto, la fuerza sobre la placa cargada negativamente debido a la placa cargada positivamente es

$$F = -Q E_{+} \implies |F| = \frac{Q^2}{2A \epsilon_0}$$ . las placas se atraen con una fuerza igual a esta.

Ahora, considere que las dos placas están infinitesimalmente lejos, es decir$d \approx 0$. Suponga que una placa se mueve lentamente a una distancia$s$manteniendo el otro fijo. La fuerza en cualquier instante ejercida por la placa fija sobre la otra es$F = \frac{Q^2}{2A\epsilon_0}$. Para mover la placa con velocidad constante (sin incremento de energía cinética) contra la fuerza electrostática de atracción, debe aplicar la misma fuerza contra la fuerza electrostática en la dirección opuesta.

El trabajo realizado por usted que se almacenará como$U$en el sistema es

$$W = F\int_0^s ds = \frac{Q^2 d}{2A\epsilon_0} = \frac{Q^2}{2C} = \frac{\epsilon_0\cdot A \cdot V^2}{2s}$$ .

El cálculo no es correcto, pero el resultado es verdadero. Necesitas un trabajo infinito para separar dos placas infinitas con cargas opuestas, ¡cada una tiene carga infinita!

El campo eléctrico debido a una placa infinita es$\frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$. La fuerza sobre un área$A$de la segunda placa será así$\frac{- \sigma^2 A}{2 \epsilon_0}$, que es infinito para un área infinita.

¡Para resolver todos nuestros problemas deberíamos suponer un área finita! Pero todavía vamos a trabajar con el$E$campo de la placa infinita.

El trabajo realizado sobre una placa de área finita$A$es entonces$\frac{\sigma^2 A}{2 \epsilon_0} d$para traerlo de$0$a$d$.

Esta es exactamente la energía almacenada$C V^2 \over 2$una vez que establezca$C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$y$V = \frac{Q}{C} = \frac{\sigma A}{C}$.

Por lo que entiendo, esta energía es igual al trabajo de las fuerzas electrostáticas necesarias para que las placas pasen de una separación cero (cuando se tocan) a una separación d.

Ese no es el entendimiento común y, desde la perspectiva del circuito eléctrico, la energía almacenada es igual al trabajo realizado por el circuito externo que separa la carga eléctrica en el capacitor (moviendo la carga eléctrica de una placa a la otra a través del circuito externo).

Para complementar las respuestas ya dadas, mostraré otro enfoque desde la perspectiva del circuito eléctrico. Comience con la ecuación gobernante para un capacitor ideal

$$Q = C \cdot v_C$$

donde se entiende que las placas del capacitor tienen carga igual y opuesta$Q$, y el voltaje a través (diferencia de potencial) es$v_C$.

La tasa de cambio de tiempo de Q es igual a la corriente eléctrica$i_C$en la terminal más positiva:

$$\dot Q = i_C = C \cdot \frac{dv_C}{dt}$$

En un contexto de circuito, la potencia entregada al capacitor es solo el producto del voltaje a través y la corriente 'a través'

$$p = v_C \cdot i_C = \frac{Q}{C}\cdot C\frac{\dot Q}{C} = \frac{Q^2}{C}\frac{dQ}{dt}$$

Pero la potencia entregada al capacitor es solo la tasa de cambio de tiempo del trabajo realizado en el capacitor, por lo tanto

$$\frac{dW_C}{dt} = \frac{Q^2}{C}\frac{dQ}{dt}$$

o

$$dW_C = \frac{Q^2}{C}dQ$$

de este modo

$$W_C = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}Cv^2_c$$

El trabajo realizado por el circuito externo se almacena como energía potencial eléctrica en el condensador, por lo que esta es la energía almacenada por el condensador.

Este resultado es general. En el caso específico de que el capacitor sea un capacitor de placas paralelas, tenemos que

$$C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$$

por lo tanto, para un condensador de placas paralelas, la energía almacenada es

$$W_{C_{||}}= \frac{1}{2}\frac{\epsilon_0 A}{d}v^2_C$$