¿Se inventaron o descubrieron las matemáticas?

¿Qué significaría decir que se inventaron las matemáticas y en qué se diferenciaría de decir que se descubrieron las matemáticas?

¿Es esta una pregunta filosófica seria o simplemente una ambigüedad lingüística sin sentido/tautológica?

Aquí hay un titular de 2008: news.bbc.co.uk/2/hi/americas/7640183.stm Se descubre un nuevo número primo enorme Me pregunto quién diría que este número primo se inventó en 2008.
@GEdgar Los intuicionistas no afirman que se inventen números individuales; de hecho, una serie de números infinitos es un principio del intuicionismo. Dirían que se hizo realidad que el número en cuestión era primo. Antes de eso, no era ni verdadero ni falso que fuera primo.
Mi primera reacción fue "hombre, no me hagas una pregunta como esa", muy buena pregunta... ¡jajaja! ¡Pero yo diría que son AMBOS! Ciertamente, hubo imaginación involucrada en el descubrimiento y el desenvolvimiento de esos procesos se relaciona con la espontaneidad del genio en el establecimiento de alcanzar grandes soluciones matemáticas.
Para que quede claro: descubrimiento = encontrar algo que existía antes (p. ej., una rana, agujeros negros) invención = creación intelectual (p. ej., de un sistema)
Lo que inventamos se llama aplicación. Y lo que encontramos ya existente se llama descubrimiento. La matemática es la lógica de comprender los hechos a través de medidas. Aquí la medida es sólo un medio de comprensión. Entonces, siento que las matemáticas son un descubrimiento..........!!!
Las matemáticas son un lenguaje. Así como no inventamos un árbol, podemos describir un árbol usando inglés, francés o matemáticas.
@ProfessorFluffy ¿Pero inventamos el inglés o lo descubrimos ?
@nocomprende Bueno, al grano: convergimos en eso. Si las Matemáticas son una estructura hecha de intuiciones compartidas, se vuelven compartidas por algún proceso. Le echaría la culpa a la evolución y un poco a la cultura. En ese caso, la respuesta es ninguna : nos lo regaló una fuerza externa.
@jobermark Diría que la respuesta tampoco es: dos personas nunca pueden saber lo mismo, no hay objetos ni verdades y el lenguaje, el tiempo y la causalidad son delirios. Las matemáticas hacen "¡puf!" Excepto por todas las personas que viajan en ascensores.
Si se inventaran las matemáticas, no sería posible dibujar un círculo sin saber el valor de Pi... pero lo es.
¿y si invented= discovered?
Es una pregunta histórica válida. Filosóficamente la pregunta plantea una falsa dicotomía. Es probable que comenzamos un sistema de conteo en nuestra cabeza que evolucionó gradualmente hacia el sistema abstracto de manipulación de símbolos que tenemos ahora, por lo que probablemente fue una interacción continua entre los dos hasta que surgió el sistema formal.
@Ooker, de hecho; nadie discute esa posibilidad. De hecho, hay una filosofía que plantea eso, e incluso tiene axiomas (aunque no en el sentido en que los matemáticos modernos los usan, más como la definición de Euclides).
@Ooker Yo no diría eso. Porque descubrir significa encontrar algo que existe naturalmente, como la gravedad. No puedes inventar la gravedad, a lo sumo puedes inventar una máquina que pueda burlarse de ella. Son realmente diferentes. Dado que las matemáticas existían incluso antes de que los humanos comenzaran a hacer cálculos, significa que se descubren. Los electrones no comenzaron a girar alrededor de protones y neutrones después de que descubrimos que lo hacen, en una órbita (que tiene una forma de elipsis)
@Redfx ¿los dinosaurios son inventados o descubiertos? Seguramente descubrimos el fósil, pero para unas hojas humanas imaginarias en el nacimiento de la Tierra, son inventadas, ¿no?
@Ooker, como usted mismo dijo, no es invención ni descubrimiento, es solo imaginación. No tiene nada que ver con estos conceptos. Pero digamos que realmente creyeron en esto y luego se dieron cuenta de que la declaración estaba realmente equivocada, entonces sería el descubrimiento de la verdad. Porque percibes 'algo' que estuvo o no estuvo. En palabras muy simples, descubres algo que ya está ahí. Pero inventas algo inusual. Como no puedes inventar la 'materia oscura', a lo sumo puedes descubrir que está ahí o no está ahí.
Los dinosaurios de @Ooker son tan descubiertos en el sentido: descubrimos que había este tipo de criaturas vivas antes que nosotros. No los creamos, o no los pusimos en el pasado nosotros mismos. [mi anterior el comentario sobre la imaginación fue sobre el nacimiento humano con hojas si quisiste decir eso]
A partir del 21 de diciembre de 2018, el mundo tiene un nuevo número primo más grande conocido : hay un nuevo gigante en la búsqueda continua de números primos cada vez más grandes, y tiene casi 25 millones de dígitos. npr.org/2018/12/21/679207604/…
¿Se descubrieron o inventaron los solteros (las personas)? Es una especie de pregunta discutible.
Las matemáticas se inventan a través del consenso sobre nombres, axiomas, lógica, etc. Las implicaciones dentro de estos sistemas pueden parecer descubrimientos, pero también son un resultado inherente de la invención.

Respuestas (30)

Los " intuicionistas " creen que las matemáticas son solo una creación de la mente humana. En ese sentido se puede argumentar que las matemáticas son inventadas por los humanos. Cualquier objeto matemático existe sólo en nuestra mente y como tal no tiene existencia.

Los " platónicos ", por otro lado, argumentan que cualquier objeto matemático existe y solo podemos "verlo" a través de nuestra mente. Por lo tanto, en cierto sentido, los platónicos votarían que se descubrieron las matemáticas.

@eMansipater: No soy un experto en este tema. Todo lo que puedo consultar es probablemente wiki que ahora he agregado.
Lo suficientemente bueno para mi voto a favor: solo quiero que los lectores se den cuenta de que estas son escuelas de pensamiento específicas con características definidas.
Los verdaderos platónicos argumentarían que todo lo que aprendemos es, de hecho, recordado. Este es el punto en el que Sócrates guía al esclavo de Meno a través de una simple prueba euclidiana sobre cuadrados, es decir, que a través del diálogo y la introspección, nuestro conocimiento 'innato' (¡memoria!) de la Realidad matemática puede recuperarse de alguna manera parcial.
No creo que esta sea una buena respuesta. Me recuerda demasiado a las esquivas evasivas del ismo de los filósofos académicos, es decir, cuando les preguntas '¿Tu argumento falla debido a X?' y ellos responden: 'Bueno, si eres Y-ist, entonces no, y si eres Z-ist, entonces tal vez sí, pero todavía no estoy seguro de cuál soy, etc.' - Las escuelas en sí mismas no significan nada y creo que a las personas que no han explorado el tema de forma independiente no se les debe pedir que busquen una determinada escuela de filosofía como su punto de primer contacto.
@Joe: Eso es bastante correcto. Platón (a través de Sócrates) sostuvo que sabíamos todo de 'vidas posteriores' anteriores y que las recordábamos, pero pensábamos que estábamos aprendiendo algo nuevo. El pasaje con el niño esclavo establece esto muy claramente.
Ok, buenas definiciones; pero ¿cuál es su respuesta real ?
El platonismo matemático no pretende ser lo mismo que los puntos de vista de Platón, sino similar en ciertos aspectos. Es por eso que a menudo se escribe con una P minúscula.
@GeoffroyCALA ¿Por qué importa si un individuo es intuicionista o platónico?
@boehj ¿A qué pasaje te refieres?
@Chuck: supongamos que alguien, cuya visión se limita a objetos 2-D, te pregunta: "¿Las pirámides egipcias son triángulos o cuadrados?" ¿Sería aceptable que respondiera: "Bueno, según Platón, que vive en una nave espacial y mira hacia la Tierra, son cuadrados; según Aristóteles, que se para en el suelo, son triángulos; pero en mi humilde opinión son un poco de ambos".
Esto no es una respuesta. Completamente un comentario. Desearía tener suficiente reputación para votar negativamente.
¿Qué quiere decir exactamente cuando dice que, para el platónico, sólo podemos ver objetos matemáticos a través de nuestra mente ? ¿Tienes en mente algún tipo de facultad de intuición godeliana? Si es así, me temo que esta no es realmente la comprensión reconocida de la posición de los platónicos. Si no, ¿puedes dejarlo más claro?
Creo que es justo decir que el número de matemáticos profesionales que aplican la lógica instuicionista son una pequeña minoría, y que la gran mayoría no tiene reparos en, por ejemplo, usar la ley del medio excluido y las pruebas de existencia no constructivas.
Este es uno de mis debates filosóficos favoritos.
Curiosamente y algo irónicamente, el pragmatismo diría que esta es la única respuesta importante.

Mi punto de vista personal es que los matemáticos inventaron los axiomas y las reglas de operación, el resto se descubre . Los matemáticos inventaron las notaciones para escribir los conceptos que se descubren dentro del universo de un axioma.

El concepto de números existe, pero inventamos la notación de que el glifo '1' y el sonido /wʌn/ se refieren al concepto de objeto singular que descubrimos. Inventamos las reglas de la multiplicación de matrices, pero se descubren las consecuencias de la forma en que hacemos las multiplicaciones de matrices.

La mayoría de las veces, inventamos deliberadamente un conjunto de axiomas que nos llevarán a descubrir un conjunto de hechos que queremos que sean ciertos. Esto es ciertamente cierto con los números imaginarios, los inventamos para que podamos descubrir las soluciones a problemas que antes no éramos capaces o difíciles de resolver.

¿Por qué existe el concepto de número, pero se inventó el concepto de número complejo?
@Artem Kaznatcheev: Buen punto. El número complejo es solo una notación para escribir un par de números, inventamos las reglas de la aritmética compleja para que puedan representar convenientemente las coordenadas en un plano y algunas transformaciones comunes. El concepto de un plano y un punto en el plano existe, pero la notación (por ejemplo, número complejo) se inventaron.
también se podría decir que alguien descubrió que el conjunto particular de axiomas coincidía con la intuición.
Entonces, ¿las matemáticas son una colección de sistemas axiomáticos inventados por humanos, notaciones y herramientas (como el plano) que se utilizan para explorar las consecuencias lógicas y las aplicaciones concretas de los mismos?
@AlexNye: perdón por la respuesta tardía, pero sí, lo entendiste bien, en el clavo.
Los números complejos parecen inventados, particularmente debido a la etiqueta "números imaginarios", pero ambos nombres son un poco engañosos, ya que históricamente hubo una gran renuencia a aceptar que los términos que involucraban raíces cuadradas de negativos representaban algo, de ahí el nombre peyorativo "imaginario", pero aceptarlos fue una suposición enormemente simplificadora a la que finalmente se llegó, y "complejo" es desafortunado para algo que introdujo tanta simplicidad. Es justo decir que las personas que los encontraron por primera vez no aceptaron inicialmente su validez, por lo que tal vez sean más descubiertos que inventados.
Con la excepción de la geometría euclidiana, a lo largo de la mayor parte de la historia de las matemáticas, los axiomas se establecieron mucho después de que se desarrollaran las matemáticas correspondientes. Recién a partir del siglo XIX se aplicó el método axiomático al conjunto de las matemáticas.
No inventamos axiomas; los enunciados matemáticos que son los axiomas existen independientemente de nosotros, pero nosotros elegimos los axiomas.
@AlexNye Reducir las matemáticas al collection of human invented axiomatic systems, notations and toolses como reducir un idioma al collection of human invented grammar rules and letters . El lenguaje es eso más una herramienta para transmitir significado. Me gusta creer que Math es lo anterior más una herramienta para explorar, analizar y describir conceptos matemáticos (cualquiera que sea un concepto matemático en realidad).
@ArtemKaznatcheev: La respuesta simple es que los números complejos se descubrieron, no se inventaron. Dados los números naturales, puedes descubrir que los números racionales forman un campo. Su terminación métrica (a través de las secuencias de Cauchy) le da los números reales, que puede descubrir que es el único campo de Arquímedes ordenado. Después de eso, es posible que desee tener raíces de polinomios, y es un teorema asombroso que los números complejos son un campo algebraicamente cerrado que contiene los reales y, de hecho, la única extensión algebraica algebraicamente cerrada. No hay nada que inventar aquí excepto la notación.
@ArtemKaznatcheev: (Único hasta el isomorfismo, por supuesto).
@ user21820, cada prueba que he visto de la incontabilidad de los reales tiene un error lógico que implica asumir implícitamente su existencia como infinitas secuencias incontables antes de demostrarlo. Esto es muy distinto del significado original de un "axioma" como una verdad lo suficientemente obvia como para no requerir una prueba.
@Wildcard: no sé qué pruebas ha visto, pero las pruebas de que los reales son incontables generalmente comienzan asumiendo que real es infinitamente contable , luego procede a derivar una contradicción basada en esa suposición.
@LieRyan, sí, pero incluso el argumento diagonal de Cantor asume implícitamente que puede tener una secuencia infinita arbitraria de dígitos que ni siquiera se puede describir; sin método ni justificación alguna; y luego procede a ensamblar un número infinito de tales secuencias infinitas en otra secuencia infinita arbitraria sin razón ni medios de cálculo, y luego dibuja una diagonal a través de ella. Ya se asume la incognoscibilidad de la totalidad de cualquier número real dado en la lista. Intente hacer el argumento usando solo números computables y una lista computable de los mismos, y verá.
En otras palabras, todos los argumentos y todas las pruebas de la incontabilidad de cualquier cosa parten de una suposición básica de que "hay cosas que no se pueden saber" y luego proceden a probar que hay cosas que no se pueden saber. Filosóficamente, esto es tan absurdo como el "incognoscible" de Kant y otras reflexiones similares. Puede probar cualquier cosa que asuma como verdadera. Si no asumes la validez de un conjunto infinito con elementos incognoscibles , no terminas con conclusiones incognoscibles. Consulte también web.maths.unsw.edu.au/~norman/papers/SetTheory.pdf sobre por qué los números reales son una broma.
@Wildcard: No. El argumento diagonal se puede usar para demostrar que no hay una lista computable de todos los reales computables, por lo que su comentario es incorrecto. En la forma más constructiva, puedo escribir un programa que dada cualquier entrada P que enumere una lista de reales computables (codificados como programas), generará un real computable que no está enumerado por P.
En cuanto a Wildberger, les diré francamente que cualquier cosa que él diga sobre la lógica tiene poco valor, y solo cuando realmente comprenda la circularidad detrás de todas las matemáticas, incluidos los fragmentos puramente finitos , comprenderá que las matemáticas dependen crucialmente de aceptar la colección completa de números naturales. Si quieres un punto explícito en el que dice tonterías, dice: "Y el Axioma 6: ¿¡Hay un conjunto infinito!? ¿Cómo diablos se coló este aquí?" lo que solo muestra una completa falta de conocimiento de ZFC. Digo esto a pesar de tener un fuerte disgusto por ZFC.
@ user21820, considere cuidadosamente de lo que habla. ¿Por qué no puede escribir un programa que, dado cualquier programa que enumere una lista de números racionales , genere un número racional que no esté en la lista? Nuevamente, asumes la existencia de infinitas acciones completadas.
@Wildcard: Eso es irrelevante. En la forma más constructiva, nunca asumí ningún objeto infinito completo. Por favor, léalo detenidamente de nuevo. Si no sabe cómo escribir un programa de este tipo, puede ser porque no comprende la definición de un real computable.
He ampliado mi punto en el chat .
¿Quiere decir que algunas personas no creen que los números imaginarios existan realmente, pero cuando ven una prueba de una afirmación sobre números reales usando números complejos, pueden descubrir después de leerla cómo escribir una prueba usando solo números reales? ? Por ejemplo, podrían decidir que el significado formal de un enunciado sobre números complejos es en realidad un enunciado sobre pares ordenados de números reales.
O "descubres" algo o "quieres que sea verdad". No siempre son los mismos.
No estaría de acuerdo con los números imaginarios, mucho parece estar subyacente al álgebra regular, pero ese es precisamente el argumento que debería ser, simplemente no lo sabemos :)

Hay cosas que se descubren y cosas que se inventan. El límite se pone en diferentes lugares por diferentes personas. Yo me pongo en la lista y creo que mi posición es objetivamente justificable y los demás no.

Definitivamente descubierto: cosas finitas

Por consideraciones probabilísticas, estoy seguro de que nadie en la historia de la Tierra ha hecho jamás la siguiente multiplicación:

9306781264114085423 x 39204667242145673 = ?

Entonces, si lo calculo, ¿estoy inventando su valor o descubriendo el valor? El significado de las palabras "inventar" y "descubrir" es un poco confuso, pero generalmente se dice descubrir cuando hay ciertas propiedades: ¿el valor tiene cualidades únicas e independientes que conocemos de antemano (como ser impar)? ¿Es posible obtener dos respuestas diferentes y considerar ambas correctas? etc.

En este caso, todos estarían de acuerdo en que se descubre el valor, ya que en realidad podemos hacer el cálculo --- y ni una sola persona (sana) piensa que la respuesta es una tontería, o que no sería el número de cajas en el rectángulo con los lados apropiados, etc.

Hay muchos problemas sin resolver en esta categoría finita, por lo que no es trivial:

  • ¿El ajedrez es ganado por las blancas, ganado por las negras o tablas, en un juego perfecto?
  • ¿Cuáles son las oraciones Piraha más largas posibles sin nombres propios?
  • ¿Cuál es la longitud de la prueba más corta en ZF del teorema de los números primos? ¿Aproximadamente?
  • ¿Cuál es la lista de 50 nudos de travesía?

Puede continuar para siempre, ya que la mayoría de los problemas matemáticos interesantes también son interesantes en el dominio finito.

Descubierto: computación asintótica

Considere ahora un programa de computadora arbitrario, y si se detiene o no. Este es el problema de lo que se denominan "sentencias aritméticas Pi-0-1" en lógica de primer orden, pero prefiero la formulación completamente equivalente en términos de detener programas de computadora, ya que la jerga lógica es menos accesible que la jerga de programación.

Dado un programa de computadora definido P escrito en C (o algún otro lenguaje completo de Turing) convenientemente modificado para permitir una memoria arbitrariamente grande. ¿Este programa devuelve una respuesta en un tiempo finito o se ejecuta para siempre? Esto incluye una gran parte de las conjeturas matemáticas más famosas, enumero algunas:

  • La hipótesis de Riemann (en formulación adecuada)
  • La conjetura de Goldbach.
  • La conjetura del número impar perfecto
  • Ecuaciones diofánticas (como el último teorema de Fermat)
  • consistencia de ZF (o cualquier otro conjunto de axiomas de primer orden)
  • Conjetura de Knesser-Poulson sobre el reordenamiento de esferas

Puedes creer uno de los dos

  • "Does P halt" es absolutamente significativo , de modo que uno puede saber si es verdadero o falso sin saber cuál.
  • "¿P se detiene" sólo adquiere significado cuando P se detiene, o una prueba de que no se detiene en un sistema formal adecuado, por lo que es útil introducir una categoría de "desconocido" para esta pregunta, y el "desconocido Es posible que la categoría no se quede vacía con el tiempo, como ocurre en el caso del problema finito.

Aquí es donde se detienen los intuicionistas. El nombre famoso aquí es

  • Navegador LEJ

La lógica intuicionista se desarrolla para tratar casos donde hay preguntas cuya respuesta no se determina verdadera o falsa, por lo que no se puede decidir la ley del tercero excluido. Esta posición deja abierta la posibilidad de que algunos programas de computadora que no se detienen sean demasiado difíciles de demostrar que se detienen, y no existe un mecanismo para hacerlo.

Si bien el intuicionismo es útil para situaciones de conocimiento imperfecto (como nosotros, siempre), este no es el lugar donde la mayoría de los matemáticos se detienen. Existe la firme creencia de que las preguntas en este nivel son verdaderas o falsas, pero no sabemos cuáles. Estoy de acuerdo con esta posición, pero no creo que sea trivial argumentar en contra de la perspectiva intuicionista.

La mayoría cree descubierto: jerarquía aritmética

Hay preguntas en matemáticas que no pueden ser frases como la no detención de un programa de computadora, al menos no sin la modificación del concepto de "programa". Éstos incluyen

  • La conjetura de los primos gemelos
  • La trascendencia de e+pi.

Para verificar estas preguntas, debe analizar los casos, donde en cada punto debe verificar dónde se detiene un programa de computadora. Esto significa que necesita saber que un número infinito de programas se detienen. Por ejemplo, para saber que hay infinitos primos gemelos, debe demostrar que el programa que busca primos gemelos que comiencen en cada par encontrado se detendrá en el siguiente par encontrado. Para la pregunta de trascendencia, debe ejecutar todos los polinomios, calcular las raíces y demostrar que eventualmente son diferentes de e+pi.

Estas preguntas están en el siguiente nivel de la jerarquía aritmética. Su formulación computacional es nuevamente más intuitiva --- corresponden al problema de detención para una computadora que tiene acceso a la solución del problema de detención ordinario.

Puedes ascender en la jerarquía aritmética, y las oraciones que expresan las conjeturas sobre la jerarquía aritmética en cualquier nivel finito son las de Peano Arithmetic.

Hay quienes creen que la aritmética de Peano es la base adecuada, y estas personas con mentalidad aritmética se detendrán al final de la jerarquía aritmética. Supongo que uno podría ubicar a Kronecker aquí:

  • Leopold Kronecker: "Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra del hombre".

Asumir que las oraciones en la jerarquía aritmética son absolutas, pero no otras, es una posición posible. Si incluye axiomas de inducción en estas declaraciones, obtiene la teoría de la Aritmética de Peano, que tiene una complejidad ordinal que se comprende completamente desde Gentzen, y se describe mediante el ordinal epsilon-cero. Epsilon-naught es muy concreto, ¡pero he visto argumentos recientes de que podría no estar bien fundado! Esto es completamente ridículo para cualquiera que no sepa nada de épsilon, y la idea podría parecerle a las generaciones futuras tan tonta como la idea de que la cantidad de granos de arena en una esfera del tamaño de la órbita de la Tierra es infinita, una idea explícitamente refutada en " El contador de arena" de Arquímedes.

La mayoría cree descubierto: jerarquía hiperaritmética

La jerarquía hiperaritmética a menudo se expresa en términos de aritmética de segundo orden, pero prefiero establecerla computacionalmente.

Suponga que le doy toda la solución al problema de la detención en todos los niveles de la jerarquía aritmética, y usted los concatena en un CD-ROM infinito que contiene la solución a todos ellos simultáneamente. Entonces, el problema de detención con este CD-ROM (el oráculo de detención de la jerarquía aritmética completa) define un nuevo problema de detención: el salto omega-ésimo de 0 en la jerga de la teoría de la recursión, o simplemente el oráculo omega.

Puede iterar los oráculos en la lista ordinal y producir problemas de detención cada vez más complejos. Puede creer que esto es significativo para cualquier ordinal que produzca una cinta.

Hay varios puntos de parada a lo largo de la jerarquía hiperaritmética, que generalmente están etiquetados por su versión aritmética de segundo orden (que no sé cómo traducir). Estas posiciones no son puntos de parada naturales para nadie.

Iglesia Kleene ordinal

Estoy aquí. Todo lo que sea menos que esto, lo acepto, todo lo que esté más allá de esto, lo considero objetivamente inventado. La razón es que el ordinal de Church-Kleene es el límite de todos los ordinales computables contables. Esta es la posición de los fundamentos computacionales, y fue esencialmente la posición de la escuela soviética. Las personas que pondría aquí incluyen

  • Yuri Manín
  • Pablo Cohen

En el caso de Paul Cohen, no estoy seguro. Los ordinales debajo de Church Kleene son todos aquellos que definitivamente podemos representar en una computadora, y trabajar con ellos, y cualquier concepción superior es sospechosa.

Primer ordinal incontable

Si haces una teoría de conjuntos axiomática con conjunto potencia, puedes definir la unión de todos los ordinales contables, y este es el primer ordinal incontable. Algunas personas se detienen aquí, rechazando conjuntos incontables, como el conjunto de números reales, como invenciones.

Esta es una posición muy similar a la mía, sostenida por personas a principios del siglo XX, que aceptaban el infinito contable, pero no el infinito incontable. Entre los que estuvieron aquí se encuentran muchos matemáticos famosos.

  • thorvald skolem

El teorema de Skolem fue un intento de convencer a los matemáticos de que las matemáticas eran contables.

Debo señalar que el ordinal de Church Kleene no se definió hasta la década de 1940, por lo que esta era la posición más cercana a la computacional disponible en la primera mitad del siglo XX.

continuo

La mayoría de los matemáticos de mentalidad práctica se detienen aquí. Se vuelven cautelosos con construcciones como el conjunto de todas las funciones en la línea real, ya que estos espacios son demasiado grandes para que la intuición los maneje cómodamente. No existe una escuela fundamental formal que se detenga en el continuo, es solo un lugar donde las personas dejan de sentirse cómodas en lo absoluto de la verdad matemática.

El continuo tiene preguntas que se sabe que son indecidibles por métodos que son persuasivos de que es una vaguedad en el concepto de conjunto en este punto, no en el sistema de axiomas.

Primer cardenal inaccesible

Este lugar es donde la mayoría de los platónicos se detienen. Todo lo que está debajo de esto está descrito por ZFC. Creo que la persona más famosa aquí es:

  • Saharón Sela

Supongo que este es su universo platónico, ya que lo dice explícitamente en una introducción a uno de sus primeros artículos más famosos. Puede que haya cambiado de opinión desde entonces.

Infinidad de cardenales de Woodin

Este es el lugar donde se detienen las personas a las que les gusta la determinación proyectiva.

Es probable que los defensores de la determinación crean en la consistencia de la determinación, y esto les da evidencia de la consistencia de Woodin Cardinals (aunque su argumento suena algo teológico sin la justificación computacional adecuada en términos de un ordinal computable contable increíblemente sofisticado que sirve como prueba teoría para esto)

Esto incluye

  • Hugo Woodin

Posiblemente inventado: axiomas de rango en rango

Copié esto de la página de Wikipedia , estos son los cardinales más grandes que los matemáticos han considerado hasta la fecha. Aquí es probablemente donde la mayoría de los lógicos se detienen, pero desconfían de una posible contradicción.

Estos axiomas son axiomas de reflexión, hacen que el modelo de teoría de conjuntos sea autosimilar en formas complicadas en grandes lugares. La estructura de los modelos es enormemente rica, y no tengo ninguna intuición, ya que apenas conozco la definición (la acabo de leer en Wiki).

Inventado: Reinhard Cardinal

Este es el límite de casi todos los matemáticos practicantes, ya que se ha demostrado que estos son inconsistentes, al menos usando el axioma de elección. Dado que la mayor parte de la estructura de la teoría de conjuntos se hace muy elegante con la elección, y los argumentos contra la elección no suelen estar relacionados con los supuestos cardinales grandes al estilo de Gödel, la gente asume que los cardinales de Reinhardt son inconsistentes.

Supongo que casi todos los matemáticos en activo consideran a los cardenales de Reinhardt como entidades imaginarias, que son invenciones y, además, una invención inconsistente.

Definitivamente inventado: Conjunto de todos los conjuntos

Este nivel es el más alto de todos, en el ordenamiento tradicional, y aquí es donde la gente empezó a finales del siglo XIX. El conjunto intuitivo

  • El conjunto de todos los conjuntos
  • El límite ordinal de todos los ordinales

Cantor demostró que estas ideas eran inconsistentes, utilizando un argumento simple (considere el límite ordinal más uno, o el conjunto potencia del conjunto de todos los conjuntos). Las paradojas fueron popularizadas y agudizadas por Russell, luego resueltas por Whitehead y Russell, Hilbert, Godel y Zermelo, utilizando enfoques axiomáticos que negaban este objeto.

Todo el mundo está de acuerdo en que esto es inventado.

@RonMaimon: Si bien das muchos ejemplos, todavía no entiendo cómo decides qué partes de las matemáticas se inventan y cuáles se descubren. Me parece que la regla es "las cosas con las que me siento cómodo se descubren, las cosas con las que no me siento cómodo se inventan", nunca lo consideraría objetivamente justificable. Compare con mi respuesta, en la que doy la regla directa: "los axiomas y las notaciones son invenciones; las consecuencias de esos axiomas son descubrimientos".
@LieRyan: Se descubren cosas que tienen una descripción computacional invariante, cosas que se producen a partir de idealizaciones que están más allá de cualquier cómputo, para que sus propiedades se puedan cambiar en diferentes modelos, estas se inventan. Son los fundamentos computacionales, y es la única respuesta razonablemente objetiva, al menos desde 1936 cuando las computadoras estuvieron disponibles. Su respuesta no es buena, porque las computadoras son invariantes a las axiomatizaciones, todas las axiomatizaciones razonables dan la misma noción de computadora. Entonces las computadoras se descubren con seguridad, y digo que eso es todo.
@RonMaimon: gracias por describir su regla, creo que puedo ver de dónde viene, está equiparando la computabilidad con la capacidad de descubrimiento, ¿verdad? Mi respuesta proviene de una perspectiva diferente, que en mi opinión es más general que la tuya. Mi respuesta proviene de distinguir entre herramientas/axiomas (invenciones) y sus usos/consecuencias (descubrimientos). No creo que sea un problema que el cálculo de Turing Machine y Lambda dé la misma noción de computadora, al igual que no es un problema que pueda usar InkJet o LaserJet para imprimir las mismas imágenes.
@LieRyan: No es exactamente un problema , es algo que significa que los axiomas no son lo que estás estudiando. La existencia de la computación, y su independencia de las axiomatizaciones, significa que realmente no importa cuál sea la axiomatización, que en última instancia estás estudiando las propiedades de la computación. No estoy de acuerdo con que todos los axiomas sean igualmente significativos; los axiomas son útiles en la medida en que describen con precisión los resultados de los cálculos. Puede inventar sistemas de axiomas falsos, como agregar "PA no es consistente" a PA, y luego obtiene un sistema de axiomas que no es más que PA.
@RonMaimon: Nunca dije que todos los axiomas son o deben ser útiles o significativos, al igual que no es necesario que un invento sea útil. Los axiomas no describen el resultado de los cálculos; axiomas describen un universo. Lo que puedes encontrar en el universo son descubrimientos, el resultado de los cálculos se descubre dentro del universo descrito por los axiomas. Hay universos útiles y universos no útiles, tanto como hay inventos útiles e inventos no tan útiles.
@RonMaimon: Nuevamente, entiendo de dónde proviene su respuesta, es una perspectiva completamente diferente de donde proviene mi respuesta. Me parece que la naturaleza de la pregunta no excluye la posibilidad de que pueda haber diferentes formas significativas pero contradictorias de responderla. Realmente depende de cómo definas "invención" y "descubrimientos".
@LieRyan: Ok, estoy más o menos de acuerdo contigo, pero el problema que tengo es que la afirmación "las matemáticas se tratan de axiomas y deducciones" es claramente cierta, pero no explica cómo seleccionas los sistemas de axiomas por importancia, o por qué diferentes los sistemas de axiomas terminan siendo equivalentes, o por qué los sistemas de axiomas naturalmente forman una torre de fuerza creciente, indexada por ordinales computables contables que forman la teoría de prueba de estos sistemas. Creo que estas ideas son más importantes, pero en un nivel más básico, tienes razón y no me puedo quejar demasiado. Gracias por los comentarios.
... pero hay un problema con la palabra "universo". Cuando dices "universo", y este universo es infinito, como suele serlo, entonces este universo es realmente un modelo, y siempre hay ambigüedad en la construcción de este modelo, hay muchos modelos que modelan el mismo sistema. Esto siempre es cierto cuando el modelo no es finito, por lo que es algo con lo que debe lidiar. Decir que "los sistemas de axiomas describen un universo" requiere en última instancia una forma de construir el universo a partir del sistema de axiomas, y este es el teorema de completitud de Gödel, y proporciona un modelo contable a un sistema de axiomas. Esto es computación en el fondo.
Creo que 9306781264114085423 x 39204667242145673ya es una representación perfectamente válida para cierto número entero y, por lo tanto, ya "descubrió" ese número por completo sin ningún cálculo. Si realmente había algo que "descubrir" en primer lugar, eso es.
@COMEFROM: bien, entonces, si toma este punto de vista, la pregunta que hago es cuál es el valor de este número módulo 10, el valor módulo 100, y así sucesivamente, en secuencia. La pregunta tiene sentido sin importar cuál sea su filosofía, y el procedimiento de realizar la multiplicación le brinda información no trivial sobre el valor, es decir, los valores precisos de los dígitos decimales.
@RonMaimon: Estoy de acuerdo en que existen muchas técnicas para obtener todo tipo de información sobre ese número en particular y las diferentes representaciones del número revelan información diferente. Por ejemplo, no estaría claro que el número es divisible por 39204667242145673si nos hubiera dado solo la forma decimal. Parece que usa la palabra "valor" para referirse a la representación decimal del número. Encuentro eso confuso.
@COMEFROM: No puede ser confuso, solo lo estaba usando como ejemplo de un procedimiento finito que da una respuesta a una pregunta, "¿cuál es el valor decimal de esta multiplicación?". No era como si lo estuviera usando para algún otro propósito que no fuera la ilustración.
@RonMaimon: Lo siento, al principio pensé que estabas hablando de "descubrir" el número. ¿Supongo que no crees que las técnicas para descubrir ese valor decimal también son "descubiertas", no "inventadas"? Solo trato de entender lo que realmente quieres decir con "cosas finitas" y que todo esté siendo "descubierto"...
@COMEFROM: quiero decir que no puedes discutir que la respuesta siempre será la misma, que si dibujas el cuadro apropiado y cuentas los rectángulos, saldrá bien, que alguien no puede acercarse a ti y decirte "La respuesta es 17 en mi filosofía" y de alguna manera también tener razón. Esto es para distinguirlo de decir "el número de puntos en un continuo es aleph-2", que mucha gente dijo (incluido, brevemente, Godel), pero que se puede ajustar libremente forzando, por lo que no es absoluto. Estoy equiparando la noción matemática de "propiedad absoluta" con la "propiedad descubierta" filosófica.
Las propiedades de detener los programas de computadora son absolutas, y así se descubrieron. Los programas de ordenador que son ininterrumpidos también son absolutos en la filosofía que adopto, pero en realidad sólo porque se espera que demuestren ser ininterrumpidos en sistemas suficientemente potentes. Las propiedades no absolutas comienzan con los primeros conjuntos incontables, y cuando haces la teoría de conjuntos y llegas al nivel del conjunto de números reales, la mitad de todas las preguntas que haces son fungibles y no absolutas, como "¿Hay un no -conjunto medible?" "¿El número de reales es aleph-1? ¿Aleph-2? ¿Aleph-17?" "¿Hay una línea de Suslin?"
@RonMaimon: Ok, ¡gracias por la aclaración! Supongo que ahora veo tu punto. Sin embargo, dado que las matemáticas son mucho más que solo teoremas (o respuestas correctas a preguntas matemáticas), y muchas de esas otras "cosas": definiciones, técnicas, notación, etc., el sistema decimal y la multiplicación como una operación para ejemplo: lo consideraría principalmente "inventado" en lugar de "descubierto".
@COMEFROM: Vale, seguro. Me refiero a la relación entre números, el resultado de cálculos detenidos. Esto se descubre. La notación para describir el algoritmo es inventada, porque tiene muchas opciones arbitrarias, aunque las subpartes, como trucos inteligentes para reducir la complejidad, las llamaría "descubiertas", pero como es un término humano vago, no me importa. . Estaba usando un término preciso para responder la pregunta.
"el conjunto de todas las funciones en la línea real, ya que estos espacios son demasiado grandes para que la intuición los maneje cómodamente" - No creo que sea del todo cierto. En el análisis funcional, uno se enfoca en el conjunto de funciones integrables de Riemann o funciones integrables de Lebesgue o funciones medibles porque las cosas se mantienen "bien comportadas", no porque el tamaño del espacio sea difícil de comprender.
@JamesKingsbery: estaba considerando el espacio de funciones arbitrarias en R, para que no haya propiedades de regularidad. Por ejemplo, el espacio topológico de funciones de [0,1] a [0,1] en la topología del producto. En este caso, hay intuiciones como "¿no puedo elegir un valor independiente aleatorio en cada x?" que fallan en ZFC. Cuando las personas consideran espacios funcionales, tratan los espacios funcionales como clases. En realidad, no usa las propiedades de la teoría de conjuntos, solo está usando la notación de conjuntos. Nunca nadie ordena bien el espacio de las distribuciones templadas, por ejemplo.
"¿Es posible obtener dos respuestas diferentes y considerar ambas correctas?" Para muchos "posmodernos", probablemente sí. O no. O lo que sea. "Todo vale." Y aún se cuestionan por qué la sociedad no puede resolver sus problemas...
FWIW, el término es jerarquía, no jerarquía.
@Ronmaimon Desde el punto de vista de un formalista, ¿no contarían todas estas preguntas en la categoría denominada "cálculo asintótico"? Por ejemplo, los matemáticos que trabajan en la cuestión de la trascendencia $e+\pi$ realmente no están haciendo nada más que tratar de saber si algún programa de computadora $P$ se detiene o no. (Donde $P$ es el programa obvio que se detiene si ZFC+{e+pi no es trascendental} es una teoría de primer orden inconsistente)

Esta es solo una respuesta parcial:

Como matemático, me han hecho este tipo de preguntas de vez en cuando. Como la mayoría de los otros matemáticos, tiendo a evadir la pregunta porque es engañosa. Por lo general, la pregunta se formula de la siguiente manera: "¿Eres un platónico?"

La referencia aquí es a la forma eterna de Platón que somos capaces de reconocer y que nos permite reconocer el mundo que nos rodea (después de todo, no es obvio que deberíamos ser capaces de reconocer a un amputado como humano cuando vemos por primera vez él o ella, por ejemplo). Cuando me obligan a continuar, suelo responder "No".

Creo que el problema fundamental del platonismo se resume en el artículo de Brian Davies , acertadamente titulado "Let Platonism Die". También agrego: si aún no se ha descubierto un 'descubrimiento' matemático, ¿existe? Un platónico diría absolutamente. Un intuicionista diría que no existe, o que existe solo en el sentido de que algún sistema matemático actual o futuro, ideado y formulado vulgarmente por humanos, conducirá a muchos más teoremas, es decir, existe solo como una extensión de lo que sabemos. ya han creado.

Pero en última instancia, no creo que esta distinción sea muy importante aparte de las implicaciones teístas o neurales. Un platónico diría que cuando reconocemos un triángulo, por ejemplo, es porque estamos reconociendo la Forma de un Triángulo, algún objeto idealizado, perfecto y trascendental. Esto tiene mucho sentido, porque el platonismo obviamente tiene sus raíces en Platón, quien leyó mucho sobre la relación divina entre las matemáticas y el mundo propugnada por Pitágoras.

Como nota final, debo decir que muchos matemáticos conocidos se encuentran a ambos lados de la valla. El platónico más famoso, creo, es Roger Penrose, quien es más famoso por su creación de docenas de mosaicos y mosaicos no obvios.

OK, lo intento de nuevo: "También agrego: si un 'descubrimiento' matemático aún no se ha descubierto, ¿existe? Un platónico diría que no". ¿En serio? ¿No? Pensé que un platónico diría que existe antes de que se haya descubierto.
@Lennart! ¡UPS! Gracias. Lo cambio de inmediato.
Buena respuesta. Dado que nombró a un platónico, también podría nombrar a un intuicionista, por ejemplo, VI Arnold, quien una vez escribió que "las matemáticas son la parte de la física donde los experimentos son baratos". :)

Creo que las palabras "invención" y "descubrimiento" son un poco pobres para describir el nacimiento de las matemáticas, si las hay. No tiene sentido para mí decir que las matemáticas han aparecido como cuando Christophe Colomb descubrió América o se inventaron como el boomerang.

La palabra matemáticas pudo haberse inventado, el lenguaje en el que están escritas las matemáticas pudo haber sido inventado pero el movimiento de abstracción de la palabra real, la síntesis estructurada que emprende, todo eso le da espesor a las matemáticas mismas (depende de cómo se llame matemáticas). ) son parte de la humanidad. ¿No preguntas si la belleza ha sido descubierta o inventada?

Mi punto de vista personal es que la pregunta "qué son las matemáticas" sería más seria, me parecería aún más interesante "por qué hacemos matemáticas".

Correcto. ¿Qué son los descubrimientos? Cuando el ser humano encuentra algo que la naturaleza hace y que no sabía antes. La naturaleza no hace matemáticas. Describimos la naturaleza usando matemáticas, pero las matemáticas no son la cosa. Es con las matemáticas que conocemos la naturaleza y las matemáticas se inventaron para entender la naturaleza pero no es la naturaleza.

Voy a postular, ciertamente sin ningún tipo de investigación sobre aquellos que precedieron a estos pensamientos, que una "invención" es una especie de "descubrimiento", y que si una cosa califica como una invención es, sí, lo viste. viniendo— subjetivo .

Por ejemplo, podríamos decir que la rueda fue "inventada" por motivos de (1) falta de naturalidad ( originalidad ) y (2) intención . Es decir, antes de la rueda, las formas de círculo y eje no existían en la naturaleza y, por supuesto, nadie podía aplicarlas para facilitar el movimiento. Además, es (más) difícil imaginar a alguien tallando un círculo con un agujero, luego tallando un radio y luego juntando los dos, sin tener en mente la intención de rodar el círculo sobre el radio. Estas circunstancias nos dan motivo para decir que la rueda fue "inventada".

Pero tampoco es imposible imaginar que alguien podría haber tallado un círculo con un agujero sin ningún motivo relacionado con el concepto de rodar, y luego metió un palo en el agujero (nuevamente, sin ninguna razón premeditada o relevante). ), y solo entonces (o algún tiempo después) se dio cuenta de su propiedad de rodar. Tenga en cuenta que, en este caso, estamos más inclinados a llamar a la rueda un "descubrimiento".

Creo que tendemos a llamar "invenciones" a los descubrimientos novedosos con resultados premeditados.

Entonces, diría que las matemáticas, como un sistema general de notación/deducción, fueron mayormente inventadas. Pero sus conceptos fueron descubiertos. (¡E incluso se descubrieron algunas notaciones, mientras se luchaba por la conveniencia, la concisión y la pictórica!)

Ambas cosas.

Las matemáticas formales son creadas por personas y no necesariamente se relacionan con nada en nuestro mundo.

Sin embargo, la historia y el progreso de las matemáticas muchas veces está relacionado con las matemáticas aplicadas, que están relacionadas con nuestro mundo físico.

En otras palabras, la geometría seguirá siendo válida incluso si descubrimos que no es cierta para nuestro mundo físico (y de hecho, no lo es...) - Pero es difícil creer que muchas personas hayan comenzado a investigar esto. campo como un campo abstracto puro, sin relevancia para problemas reales de construcción, navegación, etc.

Las matemáticas son una abstracción. Como tal, los humanos lo inventamos para tratar con cosas concretas de una manera más práctica, brindándonos herramientas genéricas para tratar con lo específico.

Posteriormente se inventaron más matemáticas para tratar con las abstracciones de las matemáticas anteriores, lo que llevó a abstracciones cada vez más complejas, pero la invención de las matemáticas se hizo para tratar con cosas concretas, como la geometría y el comercio.

Los temas de teoría de números avanzada, geometría no euclidiana, complejidad de Kolmogorov y muchas otras ramas de las matemáticas ciertamente no se inventaron como una forma de "tratar con cosas concretas de una manera más práctica".
@Ami: Está bien, algunos de ellos fueron inventados para tratar cosas abstractas (es decir, otras matemáticas) en un asunto más práctico. Pero esas abstracciones se hacen para manejar otras abstracciones que al final están ahí para tratar asuntos concretos y complejos. (Sin embargo, la geometría no euclidiana tiene muchas aplicaciones prácticas extremadamente directas. Mapas de la tierra, por ejemplo).
Las matemáticas también están muy relacionadas con preocupaciones estéticas, que no necesariamente tienen que ver con cosas concretas. La música es altamente matemática, y también hay muchos otros ejemplos , por lo que no creo que sea correcto ver las matemáticas como una abstracción total sobre cosas concretas.
@eMansipater: 1. La música es muy concreta. 2. Se trataba de la invención de las matemáticas. Fue inventado para tratar cosas concretas.
@Lennart, pero las preocupaciones estéticas con respecto a la música no lo son, ese era mi punto. Y con respecto a 2, eso es solo si fue inventado. ¿Qué pasa si las matemáticas son tanto una "cosa" como cualquier otra cosa, y fueron descubiertas en lugar de inventadas? Dado que esta es la pregunta original, el punto principal de mi comentario fue simplemente señalar que su razonamiento probablemente sea insuficiente para argumentar que las matemáticas fueron inventadas; aunque si asumimos que lo fue, podría ofrecer una explicación plausible . ¿Ver la diferencia?
@eMansipater: Sí, ya veo, y te equivocas. Ver respuesta arriba. :-)
-1: Por razones explicadas por eMansipater y Ami.
@Lovre: No explicaron nada, pero puedes hacerlo si quieres. Sí, las matemáticas se pueden usar para manejar cosas abstractas. Nunca contradije esto. Pero no se inventó para hacer esto (porque esas abstracciones a su vez se inventaron después de que se inventaron las matemáticas). Bastante simple, de verdad.

Las matemáticas son muchas cosas: hay entidades/estructuras básicas/complejas, estrategias de prueba, algoritmos, manipulaciones formales... para tratar de responder a su pregunta, creo que deberíamos hacer algunas distinciones entre diferentes entidades/actividades matemáticas donde " parte creativa" del pensamiento es más o menos relevante. Además, algunas partes de las matemáticas parecen no haber sido ni descubiertas ni creadas, parecen simplemente "dadas" incrustadas en nuestra gramática del lenguaje natural.

Algunos ejemplos de entidades/actividades matemáticas que:

  • parecen incrustados en nuestra gramática : operadores lógicos clásicos, reglas de deducción clásicas, tautologías, números naturales
  • parece más descubierto : hecho general no trivial en una estructura dada (por ejemplo, el último teorema de Fermat), encontrar patrones generales, clasificaciones, encontrar contraejemplos
  • parece más inventado : definición de nuevas estructuras no triviales (por ejemplo, números complejos, cuaterniones), búsqueda de nuevas estrategias de prueba no triviales.

Primero, Quine: "..[Si fuera verdad] las definiciones [de las leyes matemáticas] generarían todos los conceptos a partir de ideas claras y distintas, y las pruebas generarían todos los teoremas a partir de verdades evidentes". "... las verdades de la lógica son todas obvias o al menos potencialmente obvias... [pero] las matemáticas se reducen solo a la teoría de conjuntos y no a la lógica propiamente dicha". -Epistemología Naturalizada; Capítulo 39.

Las implicaciones son sombrías para la objetividad ontológica de las matemáticas. Para que un hecho se reduzca a certeza, uno debe presentar evidencia sensorial (para ser "autoevidente"). Considera, veo que las cosas caen a la tierra y se quedan allí. Me explico esto con la física. Lo que veo no es física. La física es un marco inventado para generalizar lo que estoy percibiendo.

No es lo mismo un 1 y un 1 en una hoja de papel que un 2 en una hoja de papel. 1 es el número primo más pequeño, por ejemplo, mientras que 2 es el número primo más pequeño, entre muchas otras diferencias.

No es lo mismo una manzana sobre una mesa y una manzana sobre una mesa que dos manzanas sobre una mesa, ya que el conjunto de dos manzanas podrían ser manzanas diferentes. No puedo cortar dos manzanas en cubos, excepto para hacer un pastel. Pero no puedo hacer pi con una manzana.

El valor de un dólar se mide matemáticamente. Pero si los humanos desaparecen, el papel permanece, mientras que el valor desaparece con los humanos. Las cosas se adhieren a la tierra independientemente de nuestra existencia, pero la teoría que describe nuestra percepción de la gravedad no.

La objetividad epistémica de las Matemáticas es ontológicamente subjetiva. Sólo existe en nuestras mentes. Algo que existe solo en nuestras mentes solo puede haber llegado a existir dentro de nuestras mentes. Algo que hace eso se inventa.

Los descubrimientos existen sólo en vuestras mentes. ¿Dices que todos los descubrimientos son invenciones?
No, el "valor de un dólar" no se "mide matemáticamente" en lo más mínimo. Y sus otros ejemplos tampoco se relacionan con las matemáticas, por lo que puedo ver.

Esta es una pregunta seria y es lo mismo que decir: ¿el conocimiento en matemáticas es universal o una construcción humana?

Pi (el número, independientemente de su base) y muchas otras cosas son universales, las matemáticas se descubren en esa medida. Entonces pueden ser utilizados para formalizar inventos que pueden resultar erróneos, correctos o paradójicos, de la misma forma que el conocimiento (descubierto) sobre caballos y rinocerontes puede ser utilizado para (inventar y) hablar de unicornios (que nunca fueron descubiertos).

¿Podemos decir (como apuntan muchas respuestas aquí) que la biología se inventó debido a los unicornios?

Me gusta esta respuesta. Los humanos inventaron las cosas equivocadas, el resto se descubre. Aparte de ser divertido, creo que lo has clavado :-)
Pero las constantes como Pi son solo una función de la geometría euclidiana. Representa una relación constante entre la circunferencia y el radio, pero solo en 2D. En la geometría no euclidiana, la constante fluctúa en función de la altitud del centro frente a la circunferencia. Por lo tanto, a pesar de ser una aparente ley matemática constante, en realidad es solo una coincidencia relacional. Este tipo de comprensión demuestra cómo, a pesar de "descubrir" una regla o constante matemática de manera inductiva, no implica alguna cualidad inherente. En cambio, es simplemente una herramienta inventada para representar un patrón repetitivo.
Sin embargo, los términos matemáticos más fundamentales se definen a priori. es decir, "1" se puede representar de varias formas, pero siempre es el mismo concepto rudimentario. Ya sea que se muestre por... Número romano: "I" Hebreo: "Aleph" Hindú-árabe: "1" Poner 1 manzana en la canasta Golpear una vez sobre una mesa La premisa básica de "1" se entiende y trasciende la semiótica específica. Si puede diferenciar una cosa de otra en algún grado, entonces puede comprender la premisa básica de los números y, por lo tanto, las matemáticas. El descubrimiento es esa primera constatación de que las cosas pueden diferenciarse unas de otras.

Si por "¿fue descubierto?" quieres decir "¿estuvo allí todo el tiempo?", Creo que la respuesta es "sí". Considere que podemos usar las matemáticas para "predecir" el pasado ("retrodicción"). Un concepto similar es el de "retrospectiva", donde la validez de un modelo científico se prueba contra datos que se registraron incluso antes de que se inventara el modelo. Presumiblemente, para que la retrodicción/la retrodición funcionara, las matemáticas tenían que estar ahí todo el tiempo, restringiendo la evolución del universo. Si acepta este argumento, esto sugiere que las matemáticas estuvieron allí todo el tiempo, o "descubiertas".

Por supuesto, otras definiciones son posibles.

Creo que es difícil de decir. Si cree que se han descubierto las matemáticas, debe suponer que "algo" está ahí fuera, algo con lo que podemos interactuar, cuya existencia no hemos podido probar hasta ahora.

Sin embargo, incluso suponiendo que existan ideas, creo que no hay razón para pensar que los humanos deberían ser, de alguna manera, capaces de entenderlas. Como dijo David Deutsch, el hecho de que entendamos las leyes de la naturaleza es como decir que aterrizas en otro planeta y encuentras extraterrestres completamente capaces de hablarte en inglés.

Por último, pero no menos importante, es posible que nuestros modelos de cómo funciona el Universo estén completamente equivocados. Por lo tanto, estamos hablando de ideas derivadas de nuestros modelos que, en última instancia, pueden estar muy alejadas de la verdad.

Mi opinión al respecto es que las Matemáticas son un sistema inventado por los humanos para representar cosas que de otro modo podemos o no podemos percibir. Por ejemplo, podemos percibir un objeto a través de la visión y saber que es un triángulo, sin embargo, nuestra visión por sí sola no nos dice la longitud de los catetos del triángulo. Necesitamos matemáticas para representar eso para nosotros.

SÓLO para avanzar en mi punto, considere el Cálculo. Dos personas que estaban en lados completamente diferentes de Europa, Leibniz y Newton, crearon un sistema en el que ambos hacen lo mismo. Para Newton, f'(x) es lo mismo que df/dx de Leibniz. Ambos producen una función que representa la pendiente en cualquier punto de la función original, f(x). Inventaron un sistema para representar algo que de otro modo no podríamos percibir (que ya existía: la forma de una montaña debería ser suficiente para demostrar que la pendiente existe naturalmente), la única diferencia fue su notación.

Newton no usó la notación de función (f'(x)). Newton utilizó demostraciones geométricas en sus Principia . (Mire el "Lema 1" en los Principia .) Se basó en el método de agotamiento de Arquímedes (un método que también usó Galileo, piense en su polígono de lados infinitos, es decir, el círculo). Mientras que, podría decirse que la notación de Leibniz surgió por su interés en sumar series infinitas. Su enfoque es radicalmente más conciso que el de Newton, pero Newton deliberadamente no usó una forma diferente de notación (a la de Apolonio) porque no le gustaba lo infundado que era el cálculo.
Decir que inventaron algo que era preexistente es contradictorio. Se pregunta si es inventado o descubierto con la diferencia definida como descubrimiento apunta a cosas preexistentes. Señalas cosas preexistentes y dices que esto significa que tenemos una invención en lugar de un descubrimiento. Los extraterrestres no pueden entender esta lógica.
No dije que inventaron una cosa que era preexistente. Dije que inventaron un SISTEMA para representar algo que preexiste.

Las matemáticas son normativas. Eso es claro cuando uno lee a Euclides y Lobachevsky en yuxtaposición, o Euclides y Descartes, o Euclides y Leibniz o Newton, o Leibniz y Newton y Dedekind, o Dedekind y Canton, o Canton y Godel, etc., etc. La geometría es claramente normativo, ya que tenemos diferentes geometrías (aunque se podría decir, "sí, pero todos se pueden transformar unos en otros"). Pero el argumento es así: no hay otra aritmética; y así, al contar (y sus extensiones), estamos descubriendo algo fundamental para el universo. Por supuesto, tal respuesta supone que Euclid y Dedekind están hablando de la misma aritmética. ¿Es eso posible? No. No hay espacio, en la concepción del número de Euclides (piense en los Libros V y VI de los Elementos), para los cortes de Dedekind y, por lo tanto, no hay lugar para toda una serie de números que son incompatibles con el concepto de número de Euclides. Y si piensas que el concepto de número es fundamental para una concepción de la aritmética, entonces parecería que cada vez que "añadimos" nuevos "tipos" de números (que son inventados por nuevos tipos de funciones), creamos una nueva aritmética. . Pero, alguien podría decir, "eso está muy bien, pero en realidad solo subsumimos esas otras aritméticas bajo lo que llamamos aritmética, en realidad solo hay una aritmética". Pero eso sería como decir "la mecánica ondulatoria en realidad solo subsumió la mecánica ordinaria..." Tal afirmación no tiene ningún sentido.

En línea con el sondeo de muchos otros sobre qué significa exactamente 'inventado', la invención y el descubrimiento pueden verse como la misma cosa, ya que ambos requieren la aplicación de un conjunto de pasos junto con varios objetos bajo consideración. Incluso cuando se descubre, digamos, un continente, las nociones de continente y América son invenciones, no obstante. E incluso cuando se inventó, digamos, el motor de combustión interna, las leyes de la física que permitieron que existiera tal dispositivo existían antes de la invención, y así se descubrió la disposición particular de las piezas que afecta su existencia.

Si tan solo hiciéramos la pregunta correcta, podríamos obtener la respuesta correcta. El problema es, ¿la invención es descubrimiento o creación? Como inventor siete veces patentado, les diré que invención es, al menos en gran medida, descubrimiento. Como explicó mi agente de patentes, lo que se inventa es un "método", una forma de hacer un trabajo. Durante el proceso de invención, uno prueba un montón de métodos para hacer el trabajo que no funcionan. Cuando uno descubre un método que funciona, bueno, uno tiene un invento.

La prueba del descubrimiento frente a la creación es la prueba de la reproducción. Cuando una persona que nunca antes ha visto una rueda trata de resolver el problema de hacer que los objetos pesados ​​se muevan, muy bien puede reinventar la rueda. Esto sucede todo el tiempo con los inventos. A uno se le ocurre un método para resolver un problema, solo para descubrir que alguien más ha patentado ese invento antes que él. La creatividad no es así en absoluto. Si dos personas realmente independientemente crean el mismo producto creativo, entonces su producto creativo es, bueno, simple. De hecho, los programas se utilizan para analizar documentos universitarios en busca de plagio. Buscan coincidencias en una secuencia de 7 palabras porque es poco probable que dos personas de forma independiente encuentren siete pequeñas palabras unidas de la misma manera.

Así que dejemos que la pregunta sea, "¿las matemáticas son descubrimiento o creación?" Pida al antropólogo que busque los métodos matemáticos de otras culturas. Seguramente estos métodos serían subconjuntos extremos de nuestras matemáticas. Sin embargo, todavía tienen algunas consistencias simples. Dos más dos (aunque representado con palabras diferentes) es igual a cuatro. El hecho de que dos culturas de forma independiente propongan los mismos conjuntos lógicos establece que las matemáticas son descubrimiento, no creación.

Me gusta tu razonamiento aquí, pero solo funciona para tipos de matemáticas muy simples. Cuando empezamos a entrar en áreas como la trigonometría y el análisis real, claramente no es correcto decir que diferentes culturas inventaron estas cosas de forma independiente; más bien, los métodos se trasladaron de un país a otro a medida que personas de diferentes culturas comerciaban, luchaban y exploraban entre sí.

Un poco de ambos. Uno inventa los conceptos matemáticos y luego descubre las consecuencias de estos conceptos. Algo así como "define líneas y puntos a través de axiomas, y luego descubre las propiedades de los triángulos".

Entonces uno desea diferentes consecuencias e inventa nuevos conceptos, algo así como "Desearía que el triángulo tuviera una suma de ángulos de más de 180 grados; definamos líneas como círculos máximos en la esfera en lugar de líneas en un plano y veamos qué sucede".

Y sigue y sigue, la invención mano a mano con el descubrimiento.

A mi profesor de matemáticas de primaria le gusta decir

Dios creó el número 0 y el sucesor . El resto fue inventado por la humanidad.

Creo que hay algo de verdad en esta cita, incluso si no crees en Dios. Entonces, para responder a su pregunta: diría que se descubrió la base misma de las matemáticas, pero se inventó la mayor parte de las matemáticas sofisticadas.

Descubierto, si fue inventado, entonces a quien se le ocurrió π en teoría podría haberlo hecho igual a 3, pero en cambio lo descubrieron, y que era un número irracional. Se descubrieron las matemáticas, pero se inventaron las diferentes técnicas y convenciones utilizadas para el cálculo. Algo así como, Física; las leyes de la física ya existían, pero el hombre ha descubierto cómo usarlas a su favor con sus inventos.

Se inventa la matemática y la física. Te contradices cuando dices que las técnicas se inventan, que no existen antes de abrirse, pero MathoPhyscs es algo especial. Dices que las manzanas se descubren pero los pares se inventan. Esto no es justo y contradictorio en sí mismo. La ruta (más corta) de A a B preexistía como las ubicaciones conectadas. Puede haber muchas formas de A a B, pero decir que son inventadas porque no preexistieron solo porque hay muchas es infundado. Puedo mostrarte un paisaje con múltiples caminos que existen antes de que los 'inventes'.
Las matemáticas en sí no son más que un montón de técnicas que inventamos (o descubrimos) previamente para nuestro uso diario. Entonces, decir que las matemáticas se descubren mientras que las técnicas no, es contradictorio en sí mismo, sin importar cómo se mire.

Creo que la distinción entre descubierto e inventado se trata principalmente de cómo uno elige definir estas palabras . Mi definición personal sería que cuando se puede asumir razonablemente que muchas otras personas pueden, en principio, encontrar la misma cosa X, entonces se puede decir razonablemente que X se descubrió, pero cuando X es bastante arbitrario, como una notación particular, entonces se inventa. Por ejemplo, diferentes personas pueden descubrir el conjunto de Mandelbrot y varias relaciones y figuras allí:

ingrese la descripción de la imagen aquí

En la imagen de arriba los colores son un invento, no un descubrimiento. Diferentes personas tal vez elijan colores similares aquí, pero creo que es una elección bastante artística. Los colores reflejan aproximadamente qué tan rápido un punto en el plano complejo se dirigirá hacia el infinito bajo una cierta operación repetida de cuadrar y sumar, pero dependen de muchos parámetros (incluyendo cuántas iteraciones se consideran suficientes para establecer la naturaleza caprichosa de un punto), incluyendo, por supuesto, alguna paleta de colores particular.

Creo que esto ilustra muy bien que la misma bestia matemática puede tener aspectos que se descubren y aspectos que se inventan. ;-)

La ecuación de Black-Scholes describe el precio de una opción sobre acciones a lo largo del tiempo. Dado que el concepto de opciones sobre acciones, los mercados financieros, etcétera, fueron inventados, no descubiertos por humanos, ¿es eso suficiente como argumento de que las matemáticas fueron inventadas? Si no existieran las opciones sobre acciones, es casi seguro que no existiría la ecuación de Black-Scholes. La ecuación de Black-Scholes nunca estaría esperando a que la descubramos si no existieran las opciones sobre acciones.

Si uno afirma que, aunque se inventó una opción sobre acciones, se puede decir que se descubrió la ecuación de Black-Scholes, ¿cuántos teoremas matemáticos, ecuaciones, modelos, etc., hay por ahí esperando a ser descubiertos, dependiendo de nuestro futuro? inventos y creaciones"?

Las matemáticas se inventaron como un medio para expresar números, relaciones, etc. mientras se descubrían las leyes de las matemáticas.

Pi es Pi, te guste o no. Su valor fue descubierto . Sin embargo, expresar Pi en notación decimal de base 10 como 3,14* (o 22/7 si eres ese tipo de persona) es una invención de la mente humana, mientras que la proporción real fue tal desde el principio de los tiempos.

En resumen, las matemáticas son una invención humana para comprender mejor y descubrir cómo funciona el mundo natural en un nivel puramente lógico. Es necesario separar el método de lo observado.

Las matemáticas son un sistema creado para cuantificar, medir, comprender y determinar cosas mediante pruebas matemáticas , lógica, razonamiento analítico y entendimiento común. También es una abstracción, ya que la base teórica real dada sobre la implementación de algo generalmente diferirá en la práctica atómicamente, etc.

La matemática es un estudio interminable de conjeturas que es consensuado por personas suscritas a tal fenómeno. Las matemáticas se han utilizado durante siglos para realizar un seguimiento de las cosas, medir las cualidades de las cosas y, en la actualidad, analizar e interpretar conjeturas, teorías y explicaciones muy complejas de todo lo que nos rodea.

¿Fue inventado o descubierto? Hablando filosóficamente, ¿algo se mide o se descubre realmente?

Algunas cosas simplemente son, y hasta donde sabemos, tenemos un sistema, las matemáticas , para cuantificar y analizar las cosas.

Las matemáticas nunca "fueron" nada hasta que se acordaron, se pusieron en práctica, se implementaron, se acordaron y se entendieron. Tales sistemas altamente complejos nunca fueron utilizados por las criaturas biológicas mucho antes que nosotros, por ejemplo, peces, bacterias. La cantidad es solo masa sin números, y la calidad es solo coincidencia sin observación.

Una respuesta a otra pregunta que encontré aquí que despertó mi interés:

¿Por qué existe el concepto de número, pero se inventó el concepto de número complejo?

El concepto de todo lo tangible y/o intangible solo existe para ser entendido en base a la realidad y la observación del fenómeno que lo rodea, cómo esos fenómenos lo perciben, están de acuerdo en comprenderlo y qué tan bien ese sistema puede modelar con precisión la realidad subyacente. . Para un ser humano, una pelota es algo que pateas, lanzas, atrapas, tiene forma, masa, volumen; para un perro es algo en su camino. La realidad es que si hay una realidad debajo de los conceptos subyacentes que intentamos descifrar, solo un sistema así inventado intentará emular cada vez más el proceso de comprensión.

La pregunta toca también la base de todo lo que nos rodea, y su totalidad. Déjame darte una idea de por qué propongo que las matemáticas son un invento:

Antes de que las personas pudieran siquiera contar, o incluso existieran, siempre hubo muchas estructuras biológicas, masas, gases, objetos inanimados y existencias colectivas diferentes fuera de un modelo singular, percepción única de la luz visible de la radiación electromagnética, globos oculares, cerebros o clasificación en sí. Antes de que evolucionáramos, ¿los dinosaurios, asumiendo que creías que existían, contaban y clasificaban el mundo que los rodeaba? Probablemente en una medida mera y limitada, pero no se acerca a lo que la mayoría de la gente pensaría. Todas las criaturas biológicas que han evolucionado más allá de las bacterias han ganado percepción, mentes analíticas y la capacidad de pensamiento complejo para adaptarse mejor a la existencia que les rodea. Ninguno de ellos se acercó nunca a los humanos modernos.

Dudo que los peces en el mar puedan modelar con precisión múltiples percepciones de luz visible en masas y usar sus cerebros para visualizar esto como dos objetos separados, manipulando así la abstracción de elementos, seres o existencias a su alrededor. Sin embargo, miramos dos cosas y estamos de acuerdo en que son dos cosas. Vemos dos pelotas de goma en el suelo y llegamos a la conclusión inmediata de que son dos objetos distintos. Pero, ¿son realmente dos cosas, o simplemente se suscribió a un método común para segregar objetos basado en reglas humanas evolucionadas, educadas o limitadas por el cerebro?

El punto es que ves dos elementos no conectados y los clasificas/etiquetas como dos. En la mayoría de los casos, no está visualizando la pelota como una base sintética de polímeros, isopreno y otros elementos químicos y masas que constituyen su existencia dentro de la radiación electromagnética en una atmósfera. Por lo tanto, ha clasificado la existencia de dos bolas en función de la segregación de instancias de luz, sin embargo, solo está utilizando un sistema para hacerlo que está 100% limitado a la comprensión de su cerebro.

Sin un sistema, entendimiento o método de percepción todo existiría, pero no sería calculado, observado o manipulado.

Tampoco, se entiende. Eres matemática, todo lo que experimentas es matemática, todo lo que crees saber es matemática. Tu cerebro es una máquina de computación intrincadamente conectada que da lugar a todas tus experiencias y a tu sentido de ti mismo. Las matemáticas son la capacidad de predecir el futuro; es la capacidad de recordar el pasado.

Muy bien dicho, pero no estoy de acuerdo, y como esto no es más que su opinión (tal como está actualmente), tenemos que estar de acuerdo en estar en desacuerdo.
@iphigenie Es una declaración de hecho. Considere el teorema de Cybenko que prueba que una red neuronal artificial bastante simple, una aproximación codificada por computadora a la forma en que funciona nuestro cerebro, tiene la capacidad de reproducir cualquier función continua en $\mathcal{R}^n$.
No es un hecho, de lo contrario no habría un debate filosófico en curso al respecto. Bienvenido a filosofia.se, no puede simplemente afirmar que está declarando hechos objetivos.
@iphigenie Lol, ¿esta es tu definición de un hecho? ¿Y si te dijera que las ondas electromagnéticas viajan a la velocidad de la luz; ¿Es esta simplemente una opinión porque los filósofos no la están debatiendo? Realmente es un hecho que su cerebro es una máquina de computación. Realmente es un hecho que las matemáticas, a través de la ley natural, nos permiten predecir el futuro. Realmente es un hecho que la memoria digital moderna se basa en el campo de las matemáticas binarias. Puede ser mi opinión que "todo lo que experimentas son matemáticas, todo lo que crees que sabes son matemáticas", pero no creo que sea un salto tan grande.
El cerebro puede ser una máquina de computación, entre otras cosas, pero eso no significa automáticamente que "da lugar a todas tus experiencias y a tu sentido de ti mismo". ESO no es un hecho y, a diferencia de sus otros "hechos", esta es una afirmación filosófica, que no es indiscutible. Ese es mi punto.
@iphigenie No estoy seguro de que los filósofos tengan el conjunto de herramientas adecuado para abordar el origen físico del sentido de uno mismo. Ciertamente no sin consultar las ciencias naturales. Por cierto, gracias por el rencoroso voto negativo.
No estás seguro, y no proporcionaste una sola referencia, pero aún así lo reclamas. Mi voto negativo no necesita más justificación. Por cierto, no hay necesidad de rencor personal, y no tenías ninguna evidencia de que fuera mío.
@Chris, en un nivel menos abstracto, considere: "Eres genética, todo lo que experimentas es genética y fisiología, todo lo que crees que sabes es neurofisiología. Tu cerebro es una máquina de computación intrincadamente conectada que da lugar a todas tus experiencias y a tu sentido de uno mismo. La genética es el futuro". Anhelo los días en que la humanidad se reconstruirá a sí misma en el uno por ciento superior del "Oh, así que los medios presentes" . Pero yo me conformaría con el cuarenta por ciento productivo. Las matemáticas nos llevarán allí, pero solo a través de la biocomputación y la genética.

Considero una respuesta demasiado simple si solo afirma una de las alternativas y niega la otra.

Nombrando solo algunas contribuciones eminentes a las matemáticas: números complejos, teoría de conjuntos, teoría de esquemas. Por ejemplo, el concepto de conjunto ha sido inventado por Cantor, no existía antes. Después de que se inventaron los conceptos básicos como conjunto, conjunto potencia, cardinalidad, etc., se descubrió el Problema del Continuo, escondido en lo profundo de estos conceptos.

Por lo tanto, comparo las matemáticas con un juego como el ajedrez: inventar nuevos conceptos matemáticos es como crear nuevas reglas del juego. Jugar un partido significa descubrir las consecuencias de las reglas y resolver los problemas planteados por las reglas.

Mi conclusión: Las reglas del juego de las matemáticas han sido inventadas . Siguiendo las reglas, los matemáticos descubren algunas coincidencias desafiantes.

Desde una perspectiva neointuicionista, en la medida en que se inventa la matemática, se sigue descubriendo.

¿Inventamos o descubrimos la consonante 't'? Descubrimos que nuestras bocas razonablemente hacen ese sonido, en una amplia franja de nuestra especie. Pero decidimos que esto era algo importante y, al hacerlo, inventamos la idea de 't'. Inventamos una consonante al descubrir un hecho sobre nosotros mismos.

Desde esta perspectiva, las matemáticas son un conjunto de ideas por las que los humanos nos sentimos naturalmente atraídos de una forma determinada. Pero esas ideas en sí mismas son un producto de la mente humana, del mismo modo que la consonante 't' es un producto natural del aparato vocal humano. Esas ideas surgen de seres humanos individuales, a quienes se puede considerar que las inventaron. (Alguien primero pronunció el sonido de t. Alguien primero preguntó si -1 tiene una raíz cuadrada, o si el infinito tiene varios tamaños).

Pero las matemáticas seleccionan las que se sienten de una forma determinada y aíslan las que apelan ampliamente a una determinada reacción emocional. En ese sentido, es una rama de la psicología que descubre cosas sobre el pensamiento humano.

Elabora esas ideas en un grado que hace que parezca que está creando cosas, pero en realidad, está explorando nuestro fondo compartido de ideas en busca de aquellas que parecen puramente simbólicas y no dignas de cuestionamiento, y ve cómo encajan sus consecuencias.

Esta es una observación que no recuerdo dónde escuché, por lo que estaría muy agradecido si alguien más lo sabe. Pero creo que es una línea de argumentación asesina.

Considere que en algún lugar del conjunto de todos los números racionales, está la respuesta a cualquier pregunta que pueda hacer (tomando los números como, por ejemplo, códigos ASCII). Sin embargo, saber esto no le da estas respuestas. Se necesitaría la enumeración de un número y luego un proceso relacional para verificarlo y confirmar que es correcto.

Entonces, según este modelo, la enumeración y la verificación de las relaciones no son mágicamente externas a las propiedades de un número, sino fundamentales para él. Inventado no descubierto, QED.

Una invención es algo que antes no existía. Se hace un descubrimiento de algo que ya existía. Por lo tanto, las matemáticas se inventaron porque no existían antes de que alguien las creara. Por ejemplo, el número 1 existe solo en la medida en que es imaginado y no en la naturaleza.

Esto realmente no agrega nada a las respuestas existentes (por ejemplo, la más votada), y no es más que proporcionar una opinión sin referencias. Lea el centro de ayuda para saber qué tipo de respuestas estamos buscando aquí.
Esto no proporciona una respuesta a la pregunta. Para criticar o solicitar una aclaración de un autor, deje un comentario debajo de su publicación.
@JamesKingsbery La pregunta es "¿Se inventaron o descubrieron las matemáticas?" ¿Puede explicar por qué mi respuesta, de hecho, no es una respuesta?
@Keelan Mi respuesta es más simple que las anteriores y es más fácil de entender y proporciona una respuesta clara. La única referencia posible es a un diccionario que sería condescendiente. ¿No hay valor en la simplicidad?
Es más simple, y no agrega nada .
@Keelan ¿No hay valor en la simplicidad?
No en esta manifestación, y en general no cuando viene sin referencias. Pero de todos modos, no creo que nos pongamos de acuerdo en esto. James y yo dejamos una bandera en esta publicación, así que un moderador pasará y decidirá qué hacer.
@RonRoyston, estoy muy a favor de la simplicidad. Sin embargo, su respuesta plantea la pregunta: "Por lo tanto, las matemáticas se inventaron porque no existían antes de que alguien las creara". - el asunto en cuestión es si existía antes de que los humanos pensaran en él, y usted asumió que ese era el caso y dijo que, por lo tanto, fue inventado.
Entonces, ¿qué en esta manifestación niega el valor de la simplicidad? Tengo muchas ganas de aprender. ¿Puede sugerir lo que podría agregar en términos de referencias?
A modo de crítica constructiva: creo que una buena respuesta a esta pregunta debería proporcionar una base racional de por qué se inventaron o descubrieron las matemáticas (o qué partes de ellas se incluyen en qué categoría). La respuesta más votada es un muy buen ejemplo a seguir: es muy simple, pero describe dos bases racionales comunes diferentes para decidir la pregunta.
@James, no asumí que las matemáticas existieran antes del pensamiento humano. Dije que las matemáticas no existían antes del pensamiento humano y di el ejemplo de que el número uno (un concepto) llegó a existir solo cuando el hombre lo pensó.
Tú y tu sencillez. Déjame responderte también con una cita de una persona inteligente (Wittgenstein): "Algunos filósofos (o como quieras llamarlos), sufren de lo que podría llamarse 'pérdida de problemas'. Entonces todo les parece bastante simple, parece que ya no existen problemas profundos, el mundo se vuelve ancho y plano y pierde toda profundidad, y lo que escriben se vuelve inconmensurablemente superficial y trivial". Deje de enviar spam a lo que considera respuestas "simples" y comience a cumplir con las reglas de este sitio.
@iphigenie Estoy abierto a aprender. ¿Qué se pierde en mi respuesta anterior? ¿Cómo es el correo no deseado?
@RonRoyston Llévalo a meta.
“Uno de los principales objetos de la investigación teórica es encontrar el punto de vista desde el cual el tema aparece con la mayor sencillez” (JW Gibbs) . — Esto también debería apuntar a la filosofía, como traté de sugerir aquí .

Todo matemático sólo puede descubrir las matemáticas.

Sin embargo, las matemáticas son una invención.

Y esto no es una contradicción.

Las matemáticas dependen fundamentalmente de la mente humana, y más particularmente de la lógica deductiva humana y de la percepción humana del mundo real, por lo que es una especie de invención de la especie homo sapiens, no de matemáticos individuales. Los matemáticos humanos son incapaces de inventar algo lógico que no se siga lógicamente de la naturaleza humana.

Así, todo matemático sólo puede descubrir lo que ya está ahí, implícito en la naturaleza humana, y dado que los matemáticos que conocemos son todos humanos, descubrirán o redescubrirán las mismas cosas.

Es por eso que los matemáticos llegan a creer que es un hecho, de ahí la visión platónica.

El punto de vista platónico está equivocado porque, si bien las matemáticas se le dan a todos los matemáticos, no se le dan a la especie humana. Viene con, o es parte de, su propia naturaleza, por así decirlo. Las matemáticas humanas no existen fuera de la mente humana.

La especie humana en sí misma está implícita en la naturaleza, por lo que las matemáticas humanas están implícitas en la naturaleza, pero se establecen de acuerdo con la lógica humana y la percepción humana del mundo real. Entonces, en el mejor de los casos, el mundo platónico es la naturaleza misma. Claramente, esto no es lo que los matemáticos quieren decir con "platónico", pero esta es la única opción razonable.

¿Se inventaron o descubrieron las matemáticas?
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