Elija m veces de n objetos (con reemplazo). ¿Cuántos objetos únicos en promedio se eligen?

Numera los objetos con$1,2,\dots,20$.

Para$i=1,2,\dots,20$dejar$X_i$tomar valor$1$si objeto$i$se elige al menos una vez y se deja que tome valor$0$de lo contrario.

Por linealidad de expectativa y simetría encontramos para$X=\sum_{i=1}^{20}X_i$(es decir, el número total de objetos que se seleccionan al menos una vez) que:

$$\mathbb EX=20\mathbb EX_1=20P(X_1=1)=20(1-P(X_1=0))=20\left(1-\left(\frac{19}{20}\right)^{10}\right)$$

---

Editar en distribución:

Para encontrar la distribución de la cantidad de objetos que se seleccionan, puede aplicar la inclusión/exclusión. Si$I=\{1,\dots,20\}$y$S=\{i\in I\mid X_i=1\}$y por ejemplo queremos encontrar$P(|S|=3)$entonces al principio observe que:

$$P(|S|=3)=\binom{20}3P(S=\{1,2,3\})$$

Ahora queda por encontrar$P(S=\{1,2,3\})$.

Observa eso:

$$S=\{1,2,3\}\iff S\subseteq\{1,2,3\}\text{ and }S\text{ is not a proper subset of }\{1,2,3\}$$ Eso implica que: $$P(S=\{1,2,3\})=P(S\subseteq\{1,2,3\})-P(S\subseteq\{1,2\}\cup S\subseteq\{1,3\}\cup S\subseteq\{2,3\})$$

Resolver esto con inclusión/exclusión y simetría da:

$$P(S=\{1,2,3\})=P(S\subseteq\{1,2,3\})-3P(S\subseteq\{1,2\})+3P(S\subseteq\{1\})=$$ $$\left(\frac3{20}\right)^{10}-3\times\left(\frac2{20}\right)^{10}+3\times\left(\frac1{20}\right)^{10}$$

Entonces terminamos con:

$$P(|S|=3)=\binom{20}3\left(\left(\frac3{20}\right)^{10}-3\times\left(\frac2{20}\right)^{10}+3\times\left(\frac1{20}\right)^{10}\right)$$

Clasificando por el número de objetos que aparecen obtenemos la siguiente probabilidad para$q$objetos:

$$\frac{1}{n^m} {n\choose q} q! {m\brace q}.$$

Para comprobar que se trata de una distribución de probabilidad debemos obtener una cuando sumamos todas las probabilidades:

$$\frac{1}{n^m} m! [z^m] \sum_{q=1}^n {n\choose q} (\exp(z)-1)^q.$$

Podemos agregar$q=0$porque no contribuye al extractor de coeficientes:

$$\frac{1}{n^m} m! [z^m] \exp(nz) = 1.$$

El cheque pasa. Ahora para el promedio obtenemos

$$\frac{1}{n^m} m! [z^m] \sum_{q=1}^n q {n\choose q} (\exp(z)-1)^q \\ = \frac{n}{n^m} m! [z^m] \sum_{q=1}^n {n-1\choose q-1} (\exp(z)-1)^q \\ = \frac{n}{n^m} m! [z^m] (\exp(z)-1) \sum_{q=1}^n {n-1\choose q-1} (\exp(z)-1)^{q-1} \\ = \frac{n}{n^m} m! [z^m] (\exp(z)-1) \exp((n-1)z) \\ = \frac{n}{n^m} m! [z^m] (\exp(nz)-\exp((n-1)z)) = n\left( 1 - \frac{1}{n^m} (n-1)^m \right) \\ = n\left( 1 - \left(1-\frac{1}{n}\right)^m \right).$$

Esto es equivalente a: Lugar$m$bolas en$n$urnas, con probabilidad uniforme; ¿Cuántas urnas están ocupadas?

Otras respuestas dan la distribución exacta (que involucra números de Stirling del segundo tipo).

Para grande$n,m$, la distribución se puede aproximar por$n$iid variables con distribución de Poisson, y$\lambda=m/n$

Alquiler$Z$sea ​​el número de urnas ocupadas, tenemos

$$P(Z=z) \approx \binom{n}{z} (1- e^{-\lambda})^z e^{-\lambda (n-z)}$$

es decir, un binomio$(n,p)$con$p= 1-\exp(-m/n)$

Entonces su expectativa es (bajo esta aproximación)$n(1-\exp(-m/n))$. Que es asintóticamente equivalente con el valor exacto$n(1- (1-1/n)^m)$