Rudin contra Pugh por el libro de texto del primer curso de análisis real

Cada gran libro sobre un tema en particular tendrá cosas que otro gran libro omite. Habiendo visto tanto a Rudin como a Pugh, diría que ambos son excelentes opciones para un curso riguroso de análisis matemático. El libro de Pugh puede ser más fácil de entender ya que Rudin es muy conciso.

A menudo, lo que llamamos la biblia es simplemente lo que muchas personas han utilizado durante muchos años, pero existen alternativas más nuevas y también pueden ser igualmente asombrosas.

Secundando el comentario de Giuseppe Negro de que no hay "biblias" en matemáticas: lo cierto es que hay algunas fuentes que sí logran cierto objetivo difícil, sin demasiados efectos secundarios negativos, y se ganan un lugar en el "panteón" por este atributo. . A veces, sin embargo, se gana un lugar por "ser impresionante" más que por "ser útil". O por "ser duro" en lugar de "ser claro". El "rigor" de uno es el "tedio" de otro, etc.

Pugh es un matemático genuino, por lo que las elecciones que hizo al armar su libro son seguramente razonables. Tengo la impresión de que eligió enfatizar cosas intuitivas/pictóricas, en lugar de Cauchy-Weierstrassian, como sería la costumbre de Rudin.

La mayoría de los días, estoy de acuerdo (con D'Alembert, ¿creo que lo fue?, quien dijo) "Después de la creencia, seguirá la prueba".

EDITAR: de hecho, como observó Michael Harris, es "Allez en avant, et la foi vous viendra": "Adelante, y la fe te seguirá"... ¿posiblemente incluso más radical? ¿O lo es menos...? :)

Aunque hace años me burlé de este comentario potencialmente frívolo y poco riguroso, ahora lo entiendo de una manera diferente. Por ejemplo, si uno tiene una "intuición física" de que algo es cierto, esto a menudo sugiere "prueba". Y, por otro lado, si una pregunta determinada es "puramente formal", lo que a veces significa "no tiene un interés genuino para nadie", entonces el enfoque "formal" (en un sentido burlón) que adoptamos es indicativo de falta de -sentido.

Mi consejo sería buscar muchas fuentes, que abarquen una variedad de puntos de vista. Se puede argumentar que algunas fuentes son demasiado exigentes con las cosas pequeñas y que otras son negligentes. Al final, creo que un matemático profesional quiere haber experimentado una cierta cantidad de detalles, pero en tantos casos como sea posible viendo, en retrospectiva, que muchos de esos detalles estaban efectivamente predeterminados para estar bien. .. en lugar de conceder que "el universo es hostil, y las cosas tienden a ser falsas en lugar de verdaderas..."

Es decir, aunque muchas nociones ingenuas son, por supuesto, incorrectas, afirmo que la buena noticia (sobre el análisis elemental, como sobre muchas otras cosas) es que las cosas salen bastante bien. Es decir, aunque es totalmente razonable, y quizás intelectualmente responsable, preocuparse por los detalles, resulta que las cosas no están tan mal como podrían haber estado. (Se puede argumentar que si esto no fuera así, no estaríamos haciendo esto en absoluto).

Un descargo de responsabilidad menor pero importante es que esencialmente todas las fuentes de "análisis introductorio" limitan su perspectiva técnica, por lo que algunas preguntas que se pueden hacer en términos relativamente elementales, pero que no admiten una respuesta real coherente en los mismos términos, son... .sin embargo... respondió en términos a veces espantosos. Mi propio caso favorito es sobre la diferenciación en un parámetro dentro de una integral... :)

Resumen: múltiples fuentes. Mira alrededor. (Y... no hay reglas.)

Hay fallas en el libro de Rudin. El teorema de Taylor no se maneja bien. las formas diferenciales son bastante desordenadas. el inverso implicista no está cubierto muy bien. Diría que Pugh ofrece muchas ideas. pero los ejercicios son bastante duros y la teoría de la medida no es buena. El teorema de Stokes no es completo. el teorema de la función implícita e inversa son buenos, pero debería ofrecer una prueba general en el párrafo final que ha dejado para los ejercicios dieuodennes fundamentos es un clásico Bartles elementos de análisis real es un libro muy bueno y más fácil pero la inversa implícita no está bien manejada. Langs presenta distribuciones uniformes. El libro sobre análisis de pregrado es bueno y se brindan algunas ideas. algunos toremas se prueban de dos maneras diferentes en diferentes lugares y se correlacionan los comentarios que intercambian el orden de integración y diferenciación bajo el signo integral.