Dos ejes para movimiento de rotación.

Parece una rotación alrededor de un eje diferente con una velocidad de rotación diferente. Específicamente, si configura un objeto para que gire con velocidad angular$\vec\omega_1$y también con velocidad angular$\vec\omega_2$, entonces realmente gira con velocidad angular$\vec\omega_1 + \vec\omega_2$. La dirección del vector$\vec\omega_1 + \vec\omega_2$es el eje general de rotación del objeto.

El teorema de rotación de Euler garantiza que cualquier rotación de un objeto rígido se puede expresar como una rotación alrededor de un solo eje.

Todo esto se aplica instantáneamente, en el sentido de que en un momento dado, el cuerpo gira alrededor de un solo eje. Sin embargo, es posible que la dirección del eje de rotación cambie con el tiempo, y esto puede conducir a movimientos más complicados que pueden parecer que no pueden describirse mediante la rotación de un solo eje.

La rotación angular es un vector, por lo que en un instante dado cualquier cuerpo rígido solo puede girar alrededor de un eje. Si el cuerpo gira libremente en el espacio sin fuerzas externas, entonces se conserva el momento angular. Si el objeto es esféricamente simétrico como la pelota que sugieres como ejemplo, entonces la velocidad angular está en la misma dirección que el momento angular y su movimiento solo puede ser una rotación constante simple alrededor de un eje.

Para un objeto rígido asimétrico más complejo, el momento de inercia es una matriz simétrica con tres ejes principales perpendiculares. Si la rotación se alinea con uno de estos ejes, seguirá teniendo una velocidad angular constante, pero si no, la velocidad angular puede cambiar de dirección incluso mientras el momento angular permanece constante. Hay casos en los que el vector de velocidad angular se procesa alrededor de la dirección del momento angular. Esto hace que parezca que tiene más de un eje de rotación, pero en realidad es un eje que gira a su vez. Aquí hay un video de animación para mostrar esto.

http://www.youtube.com/watch?v=s9wiRjUKctU

Es posible un movimiento más complejo cuando los tres ejes son diferentes, como se ve en esta animación.

http://www.youtube.com/watch?v=qEWwIV9Z-eA

En este último video, se usa un libro que tiene tres momentos principales de inercia diferentes en la estación espacial para demostrar algo de la variedad de movimiento posible.

http://www.youtube.com/watch?v=GgVpOorcKqc

La rotación es geométricamente posible solo sobre un eje. Este eje puede cambiar en el tiempo, pero en cada instante será uno.

Esta es una propiedad geométrica del espacio tridimensional.

El eje de momento angular no coincide con el eje de rotación. Generalmente, el eje de rotación precede alrededor del eje de momento angular.

Aquí está el ejemplo de un cuerpo giratorio cuyo momento angular es absolutamente constante, pero el eje de rotación varía:

http://www.youtube.com/watch?v=L2o9eBl_Gzw

Un cuerpo rígido solo puede girar en un eje y permanecer rígido. De hecho, el único movimiento permitido es un tornillo, mientras que una rotación alrededor de un eje ocurre simultáneamente como una traslación a lo largo del mismo eje (llamada torsión ). Su relación se llama paso de tornillo. Una rotación pura tiene pitch=0.

Ahora, si está preguntando qué pasa si tiene una junta que permite dos o más rotaciones (como una junta universal), entonces el resultado es que, en cualquier instante, solo hay un eje de rotación efectivo.

Si tienes una secuencia de tres rotaciones, con matrices de rotación$R_1$,$R_2$y$R_3$cada uno sobre un eje local$\hat{z}_1$,$\hat{z}_2$y$\hat{z}_3$el vector de velocidad angular total es

Es absolutamente imposible que un cuerpo gire instantáneamente con respecto a dos ejes diferentes (¡las ecuaciones que dan el eje de rotación conocido en varios puntos siempre tienen una solución única!). Lo que en realidad sucede es que cuando un cuerpo gira, el eje de rotación cambia de un instante a otro, pero en cada instante solo hay un eje de rotación.

La velocidad angular no es un trivector ordinario sino un pseudovector (o vector axial). La orientación de un cuerpo con respecto a ejes fijos viene dada por una matriz ortogonal$\mathbf{R}_t$, y la velocidad angular se puede calcular como:

Es una práctica común definir el pseudovector$\boldsymbol{\omega}(t) = \omega_x(t) \boldsymbol{\hat{\imath}} + \omega_y(t) \boldsymbol{\hat{\jmath}} + \omega_z(t) \boldsymbol{\hat{k}}$, que muestran que para cada vez$t$hay una dirección bien definida$\boldsymbol{\omega}(t)$para el eje de rotación.