¿Cómo es que las velocidades angulares son vectores, mientras que las rotaciones no lo son?

En realidad, hay varias formas diferentes de interpretar esa pregunta, dependiendo de lo que quiera decir con "vector" y "rotación". Pero aquí hay un sentido que a menudo me he preguntado sobre mí mismo: en física introductoria, el vector de velocidad se define como la derivada del tiempo del vector de posición (en relación con algún punto fijo). ¿Por qué no ocurre lo mismo con la velocidad angular, es decir, por qué no hay un "vector de posición angular" del que pueda derivarse la velocidad angular?

De hecho, a veces lo hay. Piense en este caso simple: elija un solo eje de rotación fijo y solo considere las rotaciones alrededor de ese eje. (Rotaciones 2D, si prefiere pensarlo de esa manera) Elegiría una cierta orientación para que sea el "origen" y podría definir un vector de posición angular, apuntando a lo largo del eje de rotación, con una longitud igual a la cantidad de rotación relativa a esa orientación de "origen".

Ahora, suponga que la posición angular de su objeto cambia con el tiempo. Puede tomar la derivada del vector de posición angular y, con suerte, puede ver que lo que obtendría es solo la buena velocidad angular. No hay problema allí.

Pero vivimos en un mundo 3D (a pesar de la relatividad), entonces, ¿qué sucede cuando intentas generalizar ese modelo a 3 dimensiones? Ahí es donde te encuentras con problemas. Como ejemplo, tome el objeto del último párrafo, que giraba alrededor de un eje en particular, digamos, el$\hat{z}$eje. Ahora supongamos que cambia su movimiento para que comience a girar alrededor de un eje diferente, tal vez el$\hat{x}$eje. ¿Cómo representará su orientación ahora?

Es posible que tenga la tentación de utilizar un "vector de posición angular" apuntando en el$\hat{z}$dirección, cuya longitud representa la cantidad de rotación alrededor de la$\hat{z}$eje, y otro "vector de posición angular" apuntando en el$\hat{x}$dirección, cuya longitud representa la cantidad de rotación alrededor de la$\hat{x}$eje. Después de todo, eso funciona para la posición. Pero no funciona para la posición angular. La razón es que las rotaciones no conmutan , para usar la jerga técnica. Lo que eso significa es que si aplica la rotación A a un objeto y lo sigue con la rotación B, que está alrededor de un eje diferente, obtiene un resultado diferente que si aplica la rotación B seguida de la rotación A.

Este pequeño problema se interpone si intenta combinar sus dos$x$- y$z$- vectores de posición angular en un vector de posición angular global. Presumiblemente, escribiría este vector general como$(\theta_x, 0, \theta_z)$(el cero podría representar la cantidad de rotación alrededor del$\hat{y}$eje). Ese vector representaría la suma de$\theta_x$veces la unidad de rotación alrededor del$\hat{x}$dirección y$\theta_z$veces la unidad de rotación alrededor del$\hat{z}$dirección. Pero le falta una información crítica: ¿cuál de esas rotaciones se realizó primero? Si le diera ese vector a su amigo físico, no podría reproducir la orientación del objeto porque no sabe si realizar la$x$-rotación o la$z$-rotación primero. Seguro, usted puede saber que el objeto fue rotado en el$z$-dirección primero, pero esa información debe estar contenida en el vector para que sea de alguna utilidad.

El punto del último párrafo es que no hay forma de crear de manera sensata combinaciones lineales de estos "vectores de posición angular". Y eso prácticamente arruina su utilidad, porque la capacidad de combinarse linealmente es absolutamente fundamental para la definición de un vector, y subyace en muchas de las técnicas analíticas que usamos en física.

Por cierto, en esta vista, la razón por la que las matrices funcionan para representar rotaciones es que las matrices le ofrecen una operación adicional, la multiplicación, que puede usar para combinarlas. Ocurre que la multiplicación de matrices, para ciertas matrices (3x3 antisimétricas con determinante 1), tiene las mismas propiedades que componer rotaciones; más notablemente, también es no conmutativo. Multiplicar la matriz A por la matriz B puede darte un resultado diferente de multiplicar la matriz B por la matriz A.

Esta es una nota sobre por qué las velocidades angulares son vectores, para complementar las excelentes explicaciones de Matt y David de por qué las rotaciones no lo son.

Cuando decimos que algo tiene una cierta velocidad angular$\vec{\omega_1}$, queremos decir que cada parte de la cosa tiene una velocidad dependiente de la posición

$\vec{v_1}(\vec{r}) = \vec{\omega_1} \times \vec{r}$.

Podríamos considerar otro de estos movimientos

$\vec{v_2}(\vec{r}) = \vec{\omega_2} \times \vec{r}$

y me pregunto qué sucede cuando los agregamos. Obtenemos

$\vec{v_1}(\vec{r}) + \vec{v_2}(\vec{r}) = \vec{\omega_1} \times \vec{r} + \vec{\omega_2} \times \vec{r}$.

El producto vectorial es lineal, por lo que esto es equivalente a

$(\vec{v_1} + \vec{v_2})(\vec{r}) = (\vec{\omega_1} + \vec{\omega_2}) \times \vec{r}$,

por lo que tiene mucho sentido sumar velocidades angulares mediante la suma de vectores.

Las propiedades definitorias de los vectores son que se pueden sumar y multiplicar por constantes. Ambos tienen sentido para las velocidades angulares. Por otro lado, agregar rotaciones no tiene sentido. Lo que puedes hacer con dos rotaciones es componerlas: primero rotar de una manera, luego rotar de otra. Esta operación no parece una adición de ningún tipo. Por un lado, no conmuta. rotando algo$30$grados alrededor del$x$-eje, entonces$60$grados alrededor del$y$-eje, no es lo mismo que hacer esas dos operaciones en el orden opuesto. (¡Si nunca lo ha hecho, tome un objeto e inténtelo!) Entonces, la operación matemática que corresponde a las rotaciones tiene que ser algo que pueda expresar la no conmutatividad. Las matrices funcionan muy naturalmente para esto; para dos matrices A y B, no es cierto en general que$AB = BA$.

Estás mezclando cosas diferentes. Una transformación de rotación es una transformación de vectores en un espacio lineal; tal transformación no necesita tener velocidades angulares ni nada, y ni siquiera necesita tener algo que ver con una rotación mecánica.

La velocidad angular es la tasa de una rotación física, medida como$\vec\omega=d\vec\theta/dt$, dónde$\vec\theta$es también un vector, el análogo rotacional del desplazamiento.

En cualquier caso, el$\vec\theta$no es lo mismo que la matriz de rotación. Esta última es una función de$\vec\theta$, pero una matriz se puede usar para representar muchas más cosas que solo una rotación. Tenga en cuenta que una rotación aún se puede modelar como una matriz dependiente del tiempo, como$\vec{x}(t)=A(t)\vec{x}(0)$, pero la matriz aún no es lo mismo que el ángulo de rotación.

Nota: he sido un poco engañoso al afirmar que$\vec\theta$es un "vector", en realidad no lo es, aunque tiene 3 componentes en 3 dimensiones, por lo que es convencional escribir el componente "xy" como el componente "z", "xz" como el componente "y", "yz " como "x", pero en general es mejor pensar en los ángulos como tensores (2, 0)$\theta^{\mu\nu}$. Curiosamente, la transformación de rotación es un tensor (1, 1)$A^{\mu}{}_{\nu}$.

Puede que esto no sea intuitivo al principio, pero creo que es valioso para comprender la relación entre las matrices de rotación y las velocidades angulares. Además, sé que no responde directamente a la pregunta, pero siento que hay confusión en el OP y esto podría ayudar.

Entonces, dadas las matrices de rotación$E_1$y$E_2$para dos cuerpos rígidos conectados, ¿cómo se establece su cinemática de velocidad angular? Como es$\vec{\omega}_1$relacionado con$\vec{\omega}_2$?

Supongamos que las dos matrices de rotación están relacionadas por una sola rotación alrededor de un eje.$\hat{z}$local al primer cuerpo y ángulo$\theta$tal que

Derive la ecuación anterior para llegar a las velocidades angulares utilizando la derivada del marco giratorio .

Usando la regla de la cadena entonces

lo cual solo es cierto cuando

La ecuación anterior describe la cinemática rotacional de la junta de conexión y se deriva de la secuencia de rotaciones. Del mismo modo para articulaciones más complicadas.

La derivada temporal de la secuencia de rotación produce la cinemática de rotación angular.

La velocidad angular se representa en el sistema de coordenadas como un vector rectilíneo. Inmediatamente vemos un conflicto entre las direcciones del vector y la cantidad física. Es decir, la teoría de los vectores es un modelo inadecuado de cantidades físicas angulares. Estos vectores se denominan pseudovectores. Este problema se describe en el artículo "Vectores angulares en teoría vectorial" https://doi.org/10.5539/jmr.v9n5p71 . Estos vectores angulares simulan la dirección angular en el sistema de coordenadas, están ubicados en el plano en el que se encuentra la cantidad física. El artículo describe todas las propiedades básicas del vector angular. Dakzhe demostró que el resultado de un producto vectorial de vectores no puede ser un vector rectilíneo. El resultado del producto vectorial de los vectores es el vector angularhttps://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Cross_product#Cross_product_does_not_exist .

No estoy bien informado sobre algunos aspectos de la pregunta, pero proporcionaré una respuesta no relacionada con otros.

Un objeto puede girar tan rápido que algunas representaciones de la velocidad angular no pueden ser válidas. Por ejemplo, cuando un objeto gira más de 180 grados o 360 grados (pi o 2*pi radianes) por unidad de tiempo, la representación debe poder representar ángulos tan grandes.

Pero para algunos propósitos y en ciertas representaciones, la orientación o el ángulo de rotación o la velocidad de rotación están inherentemente limitados a pi o 2*pi radianes por la representación y, por lo tanto, no pueden representar una velocidad de rotación más allá de un valor modesto. Lo que normalmente sucede matemáticamente es que la orientación/rotación/velocidad angular se "trunca" al rango soportado o representable, que generalmente es -pi a +pi o -2*pi a +2*pi.

Si bien esto a menudo deja el objeto en la orientación correcta en el momento calculado, oculta por completo cuántas revoluciones ocurrieron desde el estado anterior (calculado en el momento anterior). Esto es físicamente MUY incorrecto para algunos propósitos. Por ejemplo, si alguna parte del objeto que gira rápidamente colisiona con otro objeto, la velocidad de impacto calculada en el punto de contacto es mucho más baja que el valor real.

Peor aún, a menudo este error hace que el objeto gire en la dirección incorrecta. Por ejemplo, considere lo que sucede cuando un objeto gira 718 grados (alrededor de algún/cualquier eje) durante el intervalo en cuestión. Esto parecerá ser una rotación de -2 grados, que es "mucho más lenta" que la realidad, pero también en la dirección opuesta a la realidad.

Creo que esta es una buena razón para nunca adoptar cuaterniones y ciertas otras representaciones para la velocidad angular... al menos en cualquier sistema donde la velocidad angular pueda exceder pi radianes por segundo (o pi radianes por intervalo de tiempo).