¿Cuánto tarda en detenerse una bola que rueda?

Estoy confundido por un problema que parece tener dos soluciones válidas separadas que se contradicen.

Digamos que tomamos un disco delgado, lo apoyamos, le damos un empujón inicial y luego lo vemos viajar por el suelo. Disminuye la velocidad y eventualmente se detiene. El disco tiene una masa METRO y un radio R , e inicialmente rueda a una velocidad angular inicial ω i . El centro de masa del disco se desplaza hacia la derecha y tiene un momento de inercia. I = 1 2 METRO R 2 . El disco que se mueve hacia la derecha disminuye su velocidad debido a una fuerza de fricción estática. F que produce un par neto τ = F R pecado ⁡ 90 º = F R que se opone a la velocidad angular. El disco rueda sin deslizarse.

ingrese la descripción de la imagen aquí

El disco se detiene ( ω F = 0 ) en un tiempo t . Usando la segunda ley de Newton aplicada a la rotación, la aceleración angular es τ = I α = F R . La definición de aceleración angular es α = ∆ ω t . Poniendo estos juntos da:

α = F R I = 0 − ω i t →

t = ω i I F R = ω i F R ( METRO R 2 2 ) = ω i METRO R 2 F mi q . 1
(Estoy ignorando las señales y haciendo que todos los valores sean positivos).

Ahora vamos a resolver por el tiempo t llegar al reposo usando un segundo método diferente. La segunda ley de Newton para el movimiento lineal establece que F norte mi t = METRO a , y la definición de aceleración es a = ∆ v t . Poniendo estos juntos da:

a = 0 − v i t = F METRO →
t = v i METRO F = ( ω i R ) METRO F mi q . 2
porque la velocidad lineal v i está relacionado con la velocidad angular ω i por la fórmula: v i = ω i R .

Pero estas dos expresiones para el tiempo t ( Eq. 1 y Eq. 2) no son equivalentes, porque Eq. 1 tiene un factor adicional de 2 en el denominador que falta en la ecuación. 2 :

ω i METRO R 2 F ≠ ω i METRO R F

¿Dónde me estoy equivocando?

Respuestas (1)

Buena pregunta. El problema aquí parece ser que intentas poner una visión realista en una situación poco realista/imposible. Vea abajo...

En primer lugar, α y a no son lo mismo. Podrías llegar fácilmente a cero a antes de llegar a cero α . Puede suponer que deben estar conectados porque, intuitivamente, a partir de una mirada en el boceto, por supuesto, la pelota se moverá cuando ruede, y viceversa, por supuesto, rodará cuando se mueva.

Pero ese es el problema: el boceto no es realista. Cualquier idea intuitiva que tengas no tendrá realmente sentido, ya que la situación esbozada es imposible. No puede haber una fuerza de fricción estática (a menos que el suelo mismo esté acelerando) sin otras fuerzas o torsiones presentes también.

Tal otro podría ser

  • un par alrededor del eje, por ejemplo, causado por un motor interno o
  • una fuerza de empuje externa en algún lugar de la bola. Por ejemplo, podría ser simplemente la gravedad (si la pelota rueda en una pendiente para que la gravedad pueda efectuar el movimiento).

Sin algo como esto, la fuerza de fricción estática no existiría. Es una fuerza que ocurre como una reacción a otros efectos (una reacción que intenta mantener juntas las superficies si intentan deslizarse) y no existirá sola (si las superficies no intentan deslizarse).

Si realmente desea considerar la situación como esbozada, debe olvidarse de la supuesta conexión entre el movimiento y el balanceo:

  • La fuerza provoca una aceleración hacia la izquierda , por lo que la pelota acelerará hacia la izquierda.
  • También provoca un par en el sentido de las agujas del reloj , por lo que la bola acelerará su rotación en el sentido de las agujas del reloj.

No están relacionados y sus expresiones fácilmente podrían ser diferentes.

Estos dos movimientos no encajan en una bola que rueda, porque este boceto no muestra un movimiento realista. Pero para una bola en el espacio empujada por tal fuerza, estos dos movimientos son definitivamente posibles.

@jdphysics De qué manera los puntos de fricción estática dependen de la dirección en la que rueda (eso no se indica). Pero no sólo eso: depende también de las otras fuerzas. No hay otras fuerzas o aceleraciones, y no hay fricción estática.
@jdphysics Idealmente, un disco rodante nunca se detendrá. No hay fricción. En un mundo real no ideal surge una fricción rodante . Esto se debe a que el suelo se deforma ligeramente y se empuja un pequeño montón de material frente a él (rodar en una playa de arena lo hace muy visible). Sin embargo, esto no apunta a lo largo del suelo. Más bien, este pequeño obstáculo adicional provoca fuerzas normales que apuntan hacia arriba y también en otras direcciones. Esas fuerzas hacia arriba en la parte delantera crearán pares de torsión contrarios que ralentizarán el rodamiento.
@jdphysics Vea esta respuesta a otra pregunta que muestra un buen boceto de exactamente este fenómeno de fricción rodante: physics.stackexchange.com/questions/223283/…
Tiene toda la razón: quiero considerar un escenario físico diferente donde la fricción estática no actúa, pero la fricción rodante sí. He editado la publicación original para reflejar algunas de las aclaraciones necesarias que señaló. La fricción de rodadura explica por qué tanto v como ω disminuyen. ¡Gracias por la ayuda y el enlace!
¿La fricción de rodadura implicaría algo de fricción estática? Además de las variadas fuerzas normales, parece que la superficie ligeramente deformada/no horizontal produciría un componente de fuerza gravitacional dirigido a lo largo de la pequeña deformación de la superficie inclinada. En consecuencia, este componente de fuerza gravitatoria inclinada provocaría que las superficies se deslizaran entre sí, lo que inicia la fricción estática. ¿Es correcto este análisis? ¿O tal vez estas pequeñas fuerzas de fricción estática son insignificantes, mientras que las fuerzas normales variadas no lo son?
@jdphysics De nada. Sí, ese análisis es correcto. Si es insignificante o no realmente depende de la superficie y de cuán no ideal sea la situación. No puedo decirlo con más precisión.
Lo más probable es que la fricción de rodadura también cause fricción cinética porque, como dijiste, la parte inferior de la rueda se deslizaría contra el suelo.
¿Cuánto tarda en detenerse una bola que rueda?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 1v