Rompiendo un grupo de indicadores a través de un monopolo...

Primero, eche un vistazo a los documentos https://arxiv.org/abs/1602.04251 y https://arxiv.org/abs/1605.02391 donde los autores (Seiberg y Witten) tienen un análisis más detallado de las propiedades del monopolo. operadores, lo cual es extremadamente útil en el documento que ha citado.

Ahora vuelve a tu pregunta.

1 y 3. Respuesta corta, sí. Pero déjame aclararte un poco (solo sáltatelo si ya lo sabes). en 3+1$D$ $U(1)$Teoría de calibre abeliana normalmente tenemos la identidad de Bianchi

$$\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0.$$ Pero si permitimos una singularidad de Dirac en el espacio (digamos en $\textbf{x}=0$el origen), podemos tener lo siguiente $$\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{2\pi}{e}\delta^3(\textbf{x}),$$ cuya cuantificación proviene del valor único de la función de onda de electrones (o en una terminología más matemática, la consistencia del paquete de calibre). Para generalizar los resultados anteriores a la teoría de calibre no abeliana, examinemos la identidad de Bianchi no abeliana $$D_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0$$ que reemplaza a la derivada ordinaria $\partial_\mu$con derivada covariante $D_\mu$y contiene una pieza como $[A,F]$. Para imitar la construcción anterior, la carga magnética tiene que conmutar entre sí para que la contribución de $[A,F]$se desvanece, y las cargas se pueden elegir para que se encuentren en la red de pesos (como se muestra en el artículo original de GNO). Por lo tanto, el monopolo GNO es esencialmente abeliano.

Después de insertar algún operador de monopolo en la teoría, solo sobrevive el elemento de grupo que conmuta con la carga de monopolo, lo que en este caso explica por qué el grupo de calibre restante es$O(2)\times O(N-2)/\mathbb{Z}_2$. Aquí el$\mathbb{Z}_2$proviene de la restricción de que el determinante del nuevo grupo calibre, es decir, el determinante de$O(2)$parte multiplicada por el determinante de$O(N-2)$parte, aún debe ser igual a 1.

2. Este es simplemente un argumento de la teoría de la representación. Los fermiones están en la representación simétrica de$SO(N)$. Ahora el grupo de indicadores se divide en$O(2)\times O(N-2)/\mathbb{Z}_2$. Entonces necesitamos analizar cómo se transforman los fermiones en la nueva representación. Además del argumento de la teoría de la representación formal, un argumento heurístico es el siguiente.

Piense en los fermiones como elementos en algunos$N\times N$matriz simétrica sin trazas$A$, que tiene$\frac{1}{2}(N^2+N) - 1$elementos. la acción de$SO(N)$elementos$U$en la matriz es$A\rightarrow U^\text{T}AU$. Piensa en la parte superior izquierda$(N-2)\times(N-2)$bloque de$U$como el subgrupo$O(N-2)$y el de abajo a la derecha$2\times 2$bloque como el subgrupo$O(2)$. Es fácil ver que la parte superior izquierda correspondiente$(N-2)\times(N-2)$bloque de$A$transforme en la representación simétrica (pero no sin rastro) de$O(N-2)$y no se transforma bajo$O(2)$. Estos$\frac{1}{2}(N^2-3N+2)$los fermiones son neutros. Del mismo modo, la esquina inferior derecha$2\times 2$bloque de$A$(excepto la parte de traza, que incluimos en el bloque superior izquierdo y no transformamos bajo$O(2)$) se transforman en la representación simétrica sin rastro de$O(2)$(es decir, representación de giro 2) pero no se transforma bajo$O(N-2)$. Finalmente, el resto debe transformarse en la representación vectorial de ambos$O(N-2)$y$O(2)$. Este tipo de análisis se puede generalizar fácilmente a la representación antisimétrica, al igual que el argumento de la teoría de la representación formal, que se puede encontrar en cualquier libro de texto estándar de teoría de grupos.