Modelo de Georgi-Glashow y el VEV del campo escalar

El potencial escalar de su teoría es

$$V(\phi) = \lambda (\phi^a \phi^a - v^2)^2,$$ donde sospecho que tenías la intención de tomar la plaza como he escrito aquí. Este potencial se minimiza cuando $\sqrt{\phi^a \phi^a} = v$. Pensar en $\phi=\frac{1}{2} \phi^a \sigma^a$como un vector con componentes $\phi^a$en un espacio vectorial tridimensional con vectores base $\sigma_a/2$. La ecuacion $\sqrt{\phi^a \phi^a}=v$dice que la norma de este vector es $v$en el mínimo del potencial. El lugar geométrico mínimo del potencial es, por lo tanto, una esfera de 2 radios $v$en este espacio 3d, formado por vectores cuya norma está fijada a $v$.

Elija al azar una de estas configuraciones mínimas de campo, digamos$\phi_0=\frac{1}{2} v \sigma^3$(el "polo norte" de la 2-esfera, si lo desea). Considere cómo actúa una transformación de indicador en esta configuración de campo. Dado que el escalar se transforma en la representación adjunta del grupo de calibre, una transformación de calibre$e^{iT} \in \mathrm{SU}(2)$actúa sobre$\phi_0$como$\phi_0 \mapsto e^{i T} \phi_0 e^{-iT}$, o, infinitesimalmente,$\delta \phi_0 = i [T,\phi_0]$. Aquí,$T = \frac{1}{2} T^a \sigma^a$es un elemento arbitrario de$\mathrm{su}(2)$, el álgebra de mentira de$\mathrm{SU}(2)$. Nuestra configuración de campo$\phi_0 = \frac{1}{2} v \sigma^3$es por lo tanto invariante bajo esta transformación de calibre cuando$T \propto \sigma_3$, mientras$\phi_0$no es invariante si$T$tiene apoyo a lo largo$\sigma^1$o$\sigma^2$. Encontramos que un solo generador de$\mathrm{su(2)}$(que genera un$\mathrm{U(1)}$subgrupo de$\mathrm{SU(2)}$) hojas$\phi_0$invariante, mientras que los otros dos generadores actúan de manera no trivial.

En tal situación, decimos que el$\mathrm{SU(2)}$la simetría de calibre se ha elevado a un$\mathrm{U(1)}$subgrupo. Para determinar el espectro de campos en la teoría de Higgsed, realice una redefinición de campo$\phi' = \phi- \phi_0$, tal que ahora se minimiza el potencial para$\phi' = 0$. si reemplazas$\phi$por$\phi'+\phi_0$en su Lagrangiano y lo expande, encontrará que los campos de calibre$A_1$y$A_2$se han vuelto masivos (en calibre unitario), mientras que$A_3$permanece sin masa. Puede determinar inmediatamente las masas de campo de calibre simplemente reemplazando$\phi$por$\phi_0$en el término cinético escalar$(D_\mu \phi^a) (D^\mu \phi^a)$:

$$\begin{align}(D_\mu \phi_0^a)(D^\mu \phi_0^a) =& (g \epsilon^{abc} A_\mu^b v \delta^{c,3})(g \epsilon^{ade} A_\mu^d v \delta^{e,3})\\ =& g^2 v^2 \epsilon^{ab3} \epsilon^{ad3} A_\mu^b A_\mu^d\\ =&g^2 v^2 (A_\mu^1 A_\mu^1+A_\mu^2A_\mu^2). \end{align}$$ De este modo, $A_1$y $A_2$han adquirido cada uno una masa de orden $gv$. A menudo se intercambian por los "campos de calibre complejo" $W_\pm = A_1 \pm i A_2$porque es $W_\pm$que aparece en interacciones cúbicas con la materia. Dejaré la expansión explícita del Lagrangiano para que la resuelvas.

Eso debería resolver tus dos primeras preguntas. Su tercera pregunta es qué sucederá si toma el escalar para vivir en una representación diferente. El análisis procede de la misma manera, así que permítanme resumir el procedimiento para una representación y un grupo de indicadores arbitrarios. Uno comienza con un potencial escalar.$V(\phi)$y determina las configuraciones de los campos que la minimizan,$\mathcal{M}_0 = \left \{\phi_0: V'(\phi_0) = 0, V''(\phi_0) > 0 \right\}$. Supongamos que la acción es invariante bajo un grupo de simetría$G$, y eso$\phi$pertenece a una representación lineal$R$de$G$. En otras palabras,$\phi$se transforma como$\phi \mapsto R(g) \phi$, dónde$R(g)$es la representación matricial de$g$. Para una transformación infinitesimal (cuando$G$es continua),$\delta \phi = i T \phi$, dónde$R(g)=e^{iT}$.

Como la acción es invariante bajo$G$,$V(\phi_0) = V(R(g) \phi_0)$para cualquier$g \in G$. De este modo$G$mapas$\mathcal{M}_0$a sí mismo.$R(g)$no necesito irme$\phi_0$invariante, sin embargo. En general, sólo un subgrupo$H \subset G$se ira$\phi_0$invariante. Es decir, entre la lista de generadores$\{T_a\}$de$G$, algún subconjunto (los generadores "ininterrumpidos") dejará$\phi_0$invariante,$\delta \phi_0 = i T_a \phi = 0$, mientras que el resto no (los generadores "rotos"). Los generadores ininterrumpidos generan el subgrupo.$H$, mientras que los generadores rotos corresponden a la clase lateral$G/H$.

Si$G$es una simetría global, decimos que se ha roto espontáneamente al subgrupo$H$. Si$G$es una simetría de calibre, decimos que se ha elevado a$H$. Los campos de calibre a lo largo de los generadores de$H$permanecen sin masa, mientras que los campos de calibre a lo largo de los generadores rotos se vuelven masivos (nuevamente, en calibre unitario).

Para asegurarse de que comprende este procedimiento, debe llevar a cabo esta línea de análisis para varios otros ejemplos. Te he mostrado cómo funciona el análisis para un$\mathrm{SU(2)}$Teoría de calibre Higgsed por un adjunto. Puede pensar en otros ejemplos de grupos de indicadores y representaciones y resolver los detalles, o estudiar los muchos ejemplos presentados en los muchos libros de teoría de campo que existen.

Por cierto, el modelo de Georgi-Glashow se refiere a un$\mathrm{SU(5)}$teoría del calibre, no una$\mathrm{SU(2)}$teoría del calibre.