Una prueba gráfica de que el vórtice SU(2)/Z2SU(2)/Z2SU(2)/\mathbb{Z}_2 no es orientable

yo) ref. 1 está usando el término vórtice orientable en una situación específica sin ofrecer una definición general. Sin embargo, en la situación específica, Ref. 1 considera dos casos:

1. Los vórtices están etiquetados con número cuántico aditivo.

   $$n~\in~\mathbb{Z}.$$ ($n=0$corresponde a ningún vórtice.) Dado que el signo de$n$tiene sentido físico, ref. 1 llama a los vórtices orientables.

2. Los vórtices están etiquetados con número cuántico aditivo.

   $$n~\in~ \mathbb{Z} \text{ mod } 2 ~\cong~\{0,1\}~\cong~\mathbb{Z}_2.$$ ($n=0\text{ mod } 2$corresponde a ningún vórtice.) Dado que el signo de$n$no tiene sentido físico, ref. 1 llama a los vórtices no orientables.

En cuanto a cómo la Ref. 1 al final del Capítulo 2 "concluye" que

debe haber monopolos magnéticos ,

probablemente no debería leerse como una prueba matemática, sino simplemente como un aperitivo/anuncio para el próximo Capítulo 3 titulado Monopolos magnéticos, donde se explica el mecanismo.

II) Resumamos aquí brevemente el Capítulo 3 tanto como el espacio lo permita. Considere soluciones estáticas clásicas a un$SU(2)$Teoría de Yang-Mills en 3+1 dimensiones en calibre temporal$A^a_0=0$, y con un campo de Higgs$\phi^{\alpha}$transformándose en un$SU(2)$ irrep $R:G\to GL(2I+1,\mathbb{F})$. El campo de Higgs$\phi^{\alpha}$posee$2I+1$componentes, donde$\alpha=1, \ldots, 2I+1$. llamemos$I=\frac{1}{2}\mathbb{N}_0$para el isospin. El potencial de calibre$A_i^a$se transforma en la representación adjunta$Ad$, es decir, es$su(2)$-valorado. Aquí$i=1,2,3$es un índice espacial, y$a=1,2,3$es un índice de álgebra de Lie. También existe un potencial de sombrero mexicano para que el Higgs asegure un VEV distinto de cero. los$|D\phi|^2$El término debe desaparecer asintóticamente para tener energía finita, que a su vez une fuertemente los comportamientos asintóticos del potencial de calibre.$A_i^a$y el campo de Higgs$\phi^{\alpha}$.

identificamos$eI_3$como generador de carga eléctrica. Solo analizaremos los campos en la región asintótica lejos del núcleo.

III) Caso de irreps semienteros-isospin. el irrep$R$es complejo y fiel . La carga eléctrica mínima distinta de cero para semienteros irreps es$|e|/2$. La condición de cuantificación de Dirac establece que la carga magnética debe ser un múltiplo de

$$\tag{A} g_m~=~\frac{2\pi}{|e|/2}~=~\frac{4\pi}{|e|}.$$

A continuación, el mecanismo de Higgs hace que el potencial de calibre total sea masivo y rompe toda la simetría de calibre.

$$\tag{B} G~=~SU(2)~\to~ H~=~\{\bf 1\}$$

No hay monopolos

$$\tag{C} \pi_2(G/H)~\cong~ \{\bf 1\},$$

cf. por ejemplo , esta publicación de mathoverflow. Por lo tanto, no discutiremos este caso más en esta respuesta.

IV) Caso de irreps de isospín entero. el irrep$R$es real, es decir, el Higgs$\phi^{\alpha}\in \mathbb{R}$es de valor real. El núcleo de la irrep$R$es

$$\tag{D} {\rm Ker}(R)~\cong~\{\pm {\bf 1}\}~\cong~\mathbb{Z}_2.$$

La carga eléctrica mínima distinta de cero para enteros irreps es$|e|$. La condición de cuantificación de Dirac establece que la carga magnética debe ser un múltiplo de

$$\tag{E} g_m~=~\frac{2\pi}{|e|}.$$

Tenga en cuenta que el centro de$SU(2)$es

$$\tag{F} Z(SU(2))~=~{\rm Ker}(Ad)~\cong~\mathbb{Z}_2.$$

Esto significa que las transformaciones de calibre de doble valor$\pm g\in SU(2)$tener una acción de grupo bien definida sobre el potencial de calibre$A_i^a$así como en el campo de Higgs$\phi^{\alpha}$en el entero irrep$R$. Así que el grupo de indicadores es efectivamente$^1$

$$\tag{G} SU(2)/\mathbb{Z}_2~\cong~ SO(3)~=~G,$$

y asumiremos esto de ahora en adelante.

Ahora aparte de la región central$C\subset \mathbb{R}^3$donde se ubican posibles monopolos magnéticos, podemos cubrir el resto del espacio$\mathbb{R}^3\backslash C$con un gráfico de coordenadas "Norte" y "Sur", con un potencial de calibre Norte y Sur,$A_{(N)i}^a$y$A_{(S)i}^a$, respectivamente. La transformación de calibre entre las dos cartas en la superposición ecuatorial (que es homotopía equivalente a$S^1$) caracteriza (las características asintóticas de) la configuración física multimonopolo. Topológicamente, la transformación de calibre ecuatorial es un mapa$S^1\to G$, y clasificados por el grupo fundamental$\pi_1(G)=\mathbb{Z}_2$.

V) A continuación, se supone que el Higgs rompe la simetría de calibre

$$\tag{H} G~=~SO(3)~\to~ H~=~U(1),$$

de modo que sólo un potencial de calibre abeliano$A^3_i$permanece sin masa. [Suponemos isospin$I\neq 0$. Para$I=1$el grupo de isotropía$H=U(1)$es automático Para mayor entero-isospin,$H=U(1)$solo ocurre para VEV especiales con simetría mejorada, mientras que$H=\{\bf 1\}$es genérico: no hay monopolos$\pi_2(G/H)\cong \{\bf 1\}$para VEVs genéricos.] Topológicamente, la transformación de norma ecuatorial es entonces un mapa$S^1\to H$, y clasificados por el grupo fundamental$\pi_1(H)=\mathbb{Z}$. Sin vórtices de fondo, las posibles configuraciones del Higgs se clasifican por

$$\tag{I} 2\mathbb{Z}~\cong~\pi_2(G/H)~\cong~ {\rm Ker}\left(\pi_1(H)\to \pi_1(G)\right) ~\subseteq~ \pi_1(H)~\cong~\mathbb{Z},$$

cf. Árbitro. 2. Por lo tanto, solo los múltiplos pares de la carga magnética en la ecuación. (E) es posible. En la imagen dimensional 2+1 del Capítulo 2, permitimos vórtices enteros de fondo en el$x^3$-dirección, que no están obligados a vivir en la parte par de eq. (YO).

Para hacer contacto con el Capítulo 2, tenga en cuenta que el Capítulo 2 está considerando soluciones estáticas clásicas para un$U(1)$Teoría de Yang-Mills (también conocida como EM ) en 2+1 dimensiones en calibre temporal$A^3_0=0$, y con un complejo$^2$escalar de higgs$\phi^3$. Los campos no dependen del$x^3$-dirección. En particular, el bidimensional$A^3_i$-el vórtice (2.6) debe identificarse con un gráfico tubular ecuatorial en la imagen tridimensional. Los vórtices se pueden ver como gruesas cuerdas unidimensionales, mientras que los monopolos magnéticos se comportan más como partículas.

Sin ruptura de simetría adicional de la$U(1)$simetría, la imagen de arriba corresponde a los vórtices orientables (1) arriba.

VI) Finalmente imaginamos que adicionalmente rompemos

$$\tag{J} U(1)~\to~ \{\bf 1\}.$$

Entonces los monopolos magnéticos desaparecen.$\pi_2(G/\{\bf 1\})\cong \{\bf 1\}$, y los vórtices se convierten en los vórtices no orientables (2) arriba, cf.$\pi_1(G)=\mathbb{Z}_2$.

Dependiendo de las escalas de energía para las dos rupturas de simetría, los vórtices orientables (1) podrían ser casi estables antes de romperse en los vórtices no orientables estables (2), es decir, dos vórtices pueden romperse, cf. Figura 2.7 y Figura 2.8. Los restos de los dos vórtices constituyen dos monopolos magnéticos casi estables, que tienen una entrada o salida neta de flujo magnético, respectivamente.

Referencias:

1. G. 't Hooft y F. Bruckmann, Monopoles, Instantons and Confinement, arXiv:hep-th/0010225 .

2. FA Bais, ¿Ser o no ser? Monopolos magnéticos en teorías de norma no abeliana, arXiv:hep-th/0407197 . (Consejo de sombrero: Cazador .)

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$^1$Más adelante en la Sección 3.6, se introduce la materia fermiónica, que se transforma en la fundamental de$SU(2)$, y que por lo tanto distingue entre$SO(3)$y$SU(2)$.

$^2$Para comparar con el Capítulo 3, que toma$\phi^{\alpha}$como un campo real, elegimos$\phi^3$ser un campo real, cf. nota al pie de página 15, alias. calibre unitario.