RGE Yukawa de un lazo

Question

RGE Yukawa de un lazo

Física
renormalización
teoría cuántica de campos
más allá del modelo estándar

Jak

Actualmente estoy tratando de entender cómo se pueden escribir los RGE de un bucle para los acoplamientos Yukawa usando la fórmula general :

Un ejemplo que me interesa es cómo deriva el autor, usando esta fórmula y comenzando con Yuakwa Lagrangian en Eq. 4.1 los RGE en la ecuación. 4.2 y la ecuación. 4.3 .

Otro ejemplo, comenzando con :

"Entre la gran escala de unificación y la escala intermedia, las interacciones efectivas de Yukawa están dadas por

- L_{Y} = \sum_{i, j} (Y_{F i j}^{(10)} F_{L}^{i T} Φ F_{R}^{j} + Y_{F i j}^{(126)} F_{L}^{i T} Σ F_{R}^{j} + Y_{R i j}^{(126)} F_{R}^{i T} \bar{Δ_{R}} F_{R}^{j} + h . C .),

$\begin{equation} -{\mathcal L}_{Y} =\sum_{i,j}\left( Y^{(10)}_{F\,ij}F_L^{iT}\Phi F_R^{j} +Y^{(126)}_{F\,ij}F_L^{iT}\Sigma F_R^{j} +Y^{(126)}_{R\,ij}F_R^{iT}\overline{\Delta_R} F_R^{j}+h.c.\right), \end{equation}$ dónde

F_{L}

$F_L$ y

F_{R}

$F_R$ denotar

(2, 1, 4)

$\bf{(2,1,4)}$ y

(1, 2, \bar{4})

$\bf{(1,2,{\overline{4}})}$ en

Ψ^{i}

$\Psi^{i}$ , bajo

G_{224} \equiv S U (2)_{L} \times S U (2)_{R} \times S U (4)_{C}

$G_{224} \equiv SU(2)_L \times SU(2)_R \times SU(4)_C$ , respectivamente. Y también,

Φ

$\Phi$ ,

Σ

$\Sigma$ y

\bar{Δ_{R}}

$\overline{\Delta_R}$ corresponden a las

(2, 2, 1)

$\bf{(2, 2, 1)}$ en

H

$H$ ,

(2, 2, 15)

$\bf{(2, 2, 15)}$ y

(1, 3, \bar{10})

$\bf{(1, 3, \overline{10})}$ en

\bar{Δ}

$\overline{\Delta}$ , respectivamente".

¿Cómo puedo deducir que:

"... los RGE de un bucle para los acoplamientos Yukawa efectivos primero en la región de energía entre la gran escala de unificación y la venta intermedia están dados por:

\begin{array}{rcl} dieciséis π^{2} \frac{d Y_{F}^{(10)}}{d t} & = & (Y_{F}^{(10)} Y_{F}^{(10) †} + \frac{15}{4} Y_{F}^{(126)} Y_{F}^{(126) †}) Y_{F}^{(10)} \\ + & Y_{F}^{(10)} {Y_{F}^{(10)} Y_{F}^{(10) †} + \frac{15}{4} (Y_{F}^{(126)} Y_{F}^{(126) †} + Y_{R}^{(126)} Y_{R}^{(126) †})} \\ + & 4 t r (Y_{F}^{(10)} Y_{F}^{(10) †}) Y_{F}^{(10)} + (\frac{9}{4} {gramo}_{2 L}^{2} + \frac{9}{4} {gramo}_{2 R}^{2} + \frac{15}{4} {gramo}_{4 C}^{2}) Y_{F}^{(10)}, \\ dieciséis π^{2} \frac{d Y_{F}^{(126)}}{d t} & = & (Y_{F}^{(10)} Y_{F}^{(10) †} + \frac{15}{4} Y_{F}^{(126)} Y_{F}^{(126) †}) Y_{F}^{(126)} \\ + & Y_{F}^{(126)} {Y_{F}^{(10)} Y_{F}^{(10) †} + \frac{15}{4} (Y_{F}^{(126)} Y_{F}^{(126) †} + Y_{R}^{(126)} Y_{R}^{(126) †})} \\ + & t r (Y_{F}^{(126)} Y_{F}^{(126) †}) Y_{F}^{(126)} + (\frac{9}{4} {gramo}_{2 L}^{2} + \frac{9}{4} {gramo}_{2 R}^{2} + \frac{15}{4} {gramo}_{4 C}^{2}) Y_{F}^{(126)}, \\ dieciséis π^{2} \frac{d Y_{R}^{(126)}}{d t} & = & {Y_{F}^{(10)} Y_{F}^{(10) †} + \frac{15}{4} (Y_{F}^{(126)} Y_{F}^{(126) †} + Y_{R}^{(126)} Y_{R}^{(126) †})} Y_{R}^{(126)} \\ + & Y_{R}^{(126)} {Y_{F}^{(10)} Y_{F}^{(10) †} + \frac{15}{4} (Y_{F}^{(126)} Y_{F}^{(126) †} + Y_{R}^{(126)} Y_{R}^{(126) †})} \\ + & t r (Y_{R}^{(126)} Y_{R}^{(126) †}) Y_{R}^{(126)} + (\frac{9}{2} {gramo}_{2 R}^{2} + \frac{15}{4} {gramo}_{4 C}^{2}) Y_{R}^{(126)}, \end{array}

$\begin{eqnarray} 16\pi^2\frac{dY^{(10)}_F}{dt}&=&\left(Y^{(10)}_FY^{(10)\dagger}_F +\frac{15}{4}Y^{(126)}_FY^{(126)\dagger}_F\right)Y^{(10)}_F \nonumber\\ &+&Y^{(10)}_F\left\{Y^{(10)}_FY^{(10)\dagger}_F +\frac{15}{4}\left(Y^{(126)}_F Y^{(126)\dagger}_F +Y^{(126)}_R Y^{(126)\dagger}_R \right)\right\} \nonumber\\ &+&4{\mathrm{tr}}\left(Y^{(10)}_F Y^{(10)\dagger}_F\right)Y^{(10)}_F +\left(\frac{9}{4}g_{2L}^{2}+\frac{9}{4}g_{2R}^{2} +\frac{15}{4}g_{4C}^{\,2}\right) Y^{(10)}_F,\\ 16\pi^2\frac{dY^{(126)}_F}{dt}&=&\left(Y^{(10)}_FY^{(10)\dagger}_F +\frac{15}{4}Y^{(126)}_FY^{(126)\dagger}_F\right)Y^{(126)}_F \nonumber\\ &+&Y^{(126)}_F\left\{Y^{(10)}_FY^{(10)\dagger}_F +\frac{15}{4}\left(Y^{(126)}_FY^{(126)\dagger}_F +Y^{(126)}_R Y^{(126)\dagger}_R \right)\right\} \nonumber\\ &+&{\mathrm{tr}}\left(Y^{(126)}_FY^{(126)\dagger}_F\right)Y^{(126)}_F +\left(\frac{9}{4}g_{2L}^{2}+\frac{9}{4}g_{2R}^{2} +\frac{15}{4}g_{4C}^{2}\right) Y^{(126)}_F,\\ 16\pi^2\frac{dY^{(126)}_R}{dt}&=&\left\{Y^{(10)}_FY^{(10)\dagger}_F +\frac{15}{4}\left(Y^{(126)}_FY^{(126)\dagger}_F +Y^{(126)}_R Y^{(126)\dagger}_R \right)\right\}Y^{(126)}_R \nonumber\\ &+&Y^{(126)}_R\left\{Y^{(10)}_FY^{(10)\dagger}_F +\frac{15}{4}\left(Y^{(126)}_FY^{(126)\dagger}_F +Y^{(126)}_R Y^{(126)\dagger}_R \right)\right\} \nonumber\\ &+&{\mathrm{tr}}\left(Y^{(126)}_RY^{(126)\dagger}_R\right)Y^{(126)}_R +\left(\frac{9}{2}g_{2R}^{2} +\frac{15}{4}g_{4C}^{2}\right) Y^{(126)}_R, \end{eqnarray}$ dónde

g_{2 L}

$g_{2L}$ ,

g_{2 R}

$g_{2R}$ y

g_{4 C}

$g_{4C}$ son los

S U (2)_{L}

$SU(2)_L$ ,

S U (2)_{R}

$SU(2)_R$ y

S U (4)_{C}

$SU(4)_C$ constantes de acoplamiento de calibre, respectivamente". ( Ec. 24-26 )

Especialmente, ¿dónde está el factor $\frac{15}{4}$ delante de $Y^{(126)}_FY^{(126)\dagger}_F$ etc vienen?
¿Por qué no hay término? $Y^{(126)}_R Y^{(126)\dagger}_R Y^{(10)}_F$ ? O formulado de otra manera, ¿por qué hay en el primer paréntesis de la $Y^{(10)}$ RGE en el primer paréntesis solo un término $Y^{(126)}_FY^{(126)\dagger}_F$ , pero no $Y^{(126)}_R Y^{(126)\dagger}_R$ ¿término?

Al usar la fórmula 2.2 "ingenuamente", también terminaría con ese término y, además, sin factores numéricos como $\frac{15}{4}$ .

¡Cualquier idea o referencia sería muy apreciada!

(La referencia original para la fórmula general es TP Cheng, E. Eichten y L.-F. Li, Phys. Rev. D9 (1974) 2259)

innisfree

¿Has probado el programa SARAH? Podría verificar (o no) los RGE en dos bucles con bastante rapidez. Por supuesto, no le daría la misma percepción.

Respuestas (1)

RGE Yukawa de un lazo

¿Has probado el programa SARAH? Podría verificar (o no) los RGE en dos bucles con bastante rapidez. Por supuesto, no le daría la misma percepción.

c78rpxnk · Answer 1

¿Ha buscado los documentos de Machacek y Vaughn (que supongo que es la referencia [26] citada en el libro al que hizo referencia aquí)? Esos documentos aclaran cómo construir/usar los RGE. No obstante, intentaré ayudarte a ti también.

Aunque no me ocuparé de eso, ya que parece ser muy particular, supondré que estás asumiendo la unificación bajo ese grupo donde tienes tu simetría izquierda derecha para dar lugar a $SU(2) \times U(1)$ más simetrías globales. Sin embargo, lo primero es aclarar cada uno de los grados de libertad reales de los escalares en tu modelo. Por ejemplo, el doblete de Higgs en el SM tiene 4 grados de libertad reales. Lo mismo debes hacer con tu $\overline{\Delta}$ , $\Sigma$ y $\Phi$ .
Para obtener los RGE del SM, por ejemplo, deberá etiquetar los Yukawas siguiendo una numeración para los grados de libertad reales escalares, independientemente de la numeración que haya utilizado (esto depende absolutamente de usted). No olvide los factores de normalización. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ al definir los campos escalares. Cada matriz de Yukawa etiquetada por el índice $a$ (que eliges cómo numerar en el paso anterior) no es la matriz de Yukawa que vino con el Lagrangiano, sino que es una matriz etiquetada por el grado de libertad real y, lo que es más importante...
... cuyos índices internos están etiquetando cada campo de fermiones en la teoría . no sé si tú campos $F$ van a dar lugar a fermiones SM (como parece ser de todos modos), sin embargo, deberá separar cada grado de libertad interno en ellos, es decir, su campo de electrones, su campo de muones (aunque los leptones contribuirán de la misma manera, y lo mismo para los quarks), sus leptones extra, quarks también, etc. Esos etiquetarán los índices internos para cada $Y^a$ matriz (la $i,j$ índices). Al menos en el SM no hay problema en poner otra matriz como entrada para toda la matriz Yukawa que estás construyendo, ya que la matriz leptónica Yukawa (no la $Y^a$ ) tiene la misma estructura para cada sabor.
Una vez hecho esto ya casi estás terminando, ya que el $a$ los índices están etiquetando el escalar real dof que obtuviste en tu teoría, así que ahora necesitas poner estas matrices de Yukawa en la fórmula y, créeme, mágicamente debería aparecer el factor 15/4 (cuando hice los cálculos en mi caso, obtuve factores de 3/2, 9/2, 21/3, etc. después de sumar las contracciones con el $b$ índice, aunque era para otra teoría). Esa 'magia' proviene de las contracciones de las matrices de Yukawa en su conjunto, y trazas, etc. y no está claro a primera vista de dónde pueden provenir. Recomiendo enfáticamente hacer esto en mathematica/maple/maxima o cualquier suite para cálculos algebraicos que desee porque, aunque muchos de los términos dentro del $Y^a$ las matrices son cero, puede ser un trabajo difícil de hacer de todos modos.
Tenga en cuenta que esto tiene mucho que ver con los números de calibre de su teoría, debe tener claro cuáles son los números cuánticos de sus partículas en su grupo de calibre, es decir, números más involucrados como índices de Dynkyn y Casimiros para cada grupo de calibre involucrado en el simetría subyacente que está utilizando. Ahí es donde aparecen los factores relacionados con los acoplamientos de calibre.

Espero haberte ayudado, y si me equivoco, por favor, házmelo saber para que ambos podamos aprender sobre esto ;-). ¡¡¡Salud!!!

RGE Yukawa de un lazo

Jak

innisfree

Respuestas (1)

c78rpxnk

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