¿Por qué y cómo la ruptura suave de la simetría protege la masa del pseudo bosón Nambu-Goldstone?

Cuando la simetría se rompe explícitamente por un operador relevante, su contribución es insignificante a altas energías. Así, si$f$es la escala del operador de ruptura, a energías$\Lambda\gg f$se restablece la simetría. Si hay una ruptura espontánea de la simetría, habrá bosones de Nambu-Goldstone sin masa, como de costumbre.

Esta es una descripción de alta energía, por lo que estos (pseudo-) bosones de Nambu-Goldstone no son realmente sin masa. Lo que pasa es que sus masas$m$son tan pequeños que no se pueden notar a altas energías ($\Lambda\gg m\sim f$). Por tanto, la masa está protegida por la aparición de la simetría a altas energías .

Cuando el operador es irrelevante, la simetría no se restablece a altas energías, se introduce una escala de corte y las masas deberían en principio (y quizás un poco ingenuamente) recibir correcciones del orden de esta escala, que debería ser al menos tan grande como el rango de energías que la teoría es capaz de describir.

Para operadores marginales, no se puede dar una respuesta general, ya que el comportamiento del grupo de renormalización depende del caso particular.

Digamos que se rompe una simetría continua con un operador parametrizado por un parámetro adimensional$h$. Como la masa de los modos de Goldstone es cero para$h=0$, esperamos que la masa sea genéricamente del orden de$h$(o a alguna potencia de$h$), por lo que en principio la masa puede ser tan pequeña como uno quiera, siempre que$h$es lo suficientemente pequeño (un criterio más explícito dependería del modelo).

La otra pregunta del OP, sobre el efecto de un operador irrelevante, es bastante interesante y no se discute mucho en la literatura. Sin embargo, ha habido un interés renovado en esta pregunta, y una buena referencia es arXiv:1508.07852 . Voy a dar aquí un breve resumen de la conclusión del documento.

En el caso de un campo de ruptura de simetría irrelevante (para el punto fijo gaussiano), uno parece llegar a una contradicción. Desde$h$rompe la simetría, esperamos una masa finita para los posibles modos de Goldstone, pero el hecho de que$h$es irrelevante nos diría ingenuamente que podemos poner$h=0$directamente desde el principio, lo que conduciría a modos Goldstone verdaderamente sin masa.

La contradicción se disipa por el hecho de que$h$es de hecho una perturbación peligrosamente irrelevante, es decir, una que escala a cero en el punto fijo gaussiano, pero que no podemos poner directamente a cero en la acción. Más precisamente,$h$es de hecho irrelevante en el punto fijo gaussiano, pero muy relevante en el punto fijo infrarrojo (fase ordenada).

Una descripción esquemática del flujo RG es la siguiente (asumiendo$h$es pequeño, y que la interacción también es pequeña, por lo que el punto fijo gaussiano describe bien el UV). Durante la primera parte del flujo, el sistema cree que es gaussiano.$h$fluye a cero, pero la interacción es relevante. En algún momento, el sistema se da cuenta de que no es gaussiano y fluye hacia el punto fijo de Goldstone. Porque$h$ahora es muy pequeño, el sistema puede pasar bastante tiempo creyendo que tiene una simetría continua y, en el régimen intermedio, se comportará como si tuviera verdaderos modos de Goldstone. Finalmente, en lo profundo del IR, el sistema se da cuenta de que hay una ruptura explícita de la simetría, lo que genera una masa (muy) pequeña para los modos Goldstone.

Las dos consecuencias principales de este mecanismo son que la masa será genéricamente (es decir, sin ajuste fino) muy pequeña en comparación con la escala de energía UV, y que los exponentes críticos (en el caso de transiciones de fase de segundo orden) serán diferentes en ambos lados. de la transición (ya que en la fase desordenada, el campo de ruptura no juega ningún papel).