¿Es el lagrangiano efectivo el lagrangiano desnudo?

En muchos libros de texto, las visiones wilsoniana y anticuada de la renormalización se tratan como totalmente separadas, pero en realidad están muy estrechamente conectadas. Usaré su notación y describiré tres vistas de renormalización como se enseñaría en los tres semestres de un curso típico de QFT.

QFT I: teoría de la perturbación desnuda

La teoría de la perturbación desnuda es la forma en que la renormalización se explica por primera vez en muchos libros de texto y la forma en que se resolvió por primera vez. Para concretar, supongamos$\phi^3$la teoría es relevante para nuestro mundo, y observamos que las partículas tienen masa física$m_p$y fuerza de interacción física$g_p$, midiendo secciones transversales. Es decir, ingenuamente tenemos una teoría con Lagrangian

$$\mathcal{L}_{\text{naive}} = (\partial \phi)^2 + m_p^2 \phi^2 + g_p \phi^3$$ donde suprimo todos los coeficientes numéricos. Entonces, las predicciones a nivel de árbol de esta teoría coinciden aproximadamente con las de las observaciones. Pero este acuerdo es una ilusión. Cuando vamos al orden de un bucle, vemos que la masa física y la fuerza de interacción se predicen que serán infinitas.

Para solucionar este problema, debemos imponer un corte$\Lambda$y en su lugar use el Lagrangiano "desnudo"

$$\mathcal{L}_{\text{bare}}(\Lambda) = (\partial \phi)^2 + m(\Lambda)^2 \phi^2 + g(\Lambda) \phi^3$$ dónde$m(\Lambda)$y$g(\Lambda)$son cantidades formalmente divergentes, fijadas de modo que las predicciones físicas son finitas. Concretamente, por ejemplo, podemos calcular el correlador$\langle \phi \phi \phi \rangle \sim g$como una serie de potencias en$g(\Lambda)$, dando una expansión en serie para$g$en términos de$g(\Lambda)$. Luego le damos la vuelta a esto para arreglar$g(\Lambda)$en términos de$g$. De esta forma, obtenemos predicciones finitas que coinciden con el experimento.

QFT II: teoría de la perturbación renormalizada en el caparazón

La teoría de la perturbación desnuda es un poco insatisfactoria. Por ejemplo, funciona perturbativamente en$g(\Lambda)$, una cantidad formalmente divergente. Y la lógica no está en el orden correcto: no deberíamos cambiar la teoría con la que estamos trabajando una vez que vemos que nuestra teoría ingenua no funciona, simplemente deberíamos trabajar con la teoría correcta desde el principio.

En cambio, en la teoría de la perturbación renormalizada, comenzamos con el Lagrangiano correcto y lo dividimos como

$$\mathcal{L}_{\text{bare}}(\Lambda) = \mathcal{L}_{\text{naive}} + \mathcal{L}_{\text{CT}}(g_p, \Lambda).$$ Aquí$\mathcal{L}_{\text{naive}}$se llama lagrangiano renormalizado porque contiene campos y acoplamientos renormalizados, como$g_p$. Luego realizamos la teoría de la perturbación en$g_p$, tratando los contratérminos como$O(g_p)$y superior, lo que tiene mucho más sentido. Las condiciones utilizadas para determinar los contratérminos son las mismas que en la teoría de la perturbación simple.

Para definir una teoría, es suficiente especificar$\mathcal{L}_{\text{bare}}(\Lambda)$. La teoría de la perturbación renormalizada en capa, que divide este lagrangiano, es una capa adicional de estructura. La división es arbitraria, y en el caso del esquema on-shell es conceptualmente útil porque nos permite trabajar con cantidades físicas como$m_p$y$g_p$a lo largo del cálculo.

A menudo se dice, incorrectamente, que "el lagrangiano renormalizado se encuentra agregando contratérminos al lagrangiano desnudo". Eso es incorrecto, porque el lagrangiano desnudo es el lagrangiano completo; no le agregamos nada. Cometer este error hace que se intercambien los nombres, lo que genera mucha confusión.

QFT III: renormalización wilsoniana

En la imagen wilsoniana, obtenemos lo mejor de ambos mundos: la franqueza ingenua de la teoría de la perturbación desnuda y la configuración adecuada de la teoría de la perturbación renormalizada.

En esta configuración, imaginamos que estamos realizando experimentos cerca, pero por debajo de algo de energía.$\mu$, y encontrar partículas con masa$m_p$y fuerza de interacción$g_p(\mu)$. Podemos describir estos resultados con una acción efectiva wilsoniana

$$\mathcal{L}_{\text{eff}}(\mu) = \mathcal{L}_{\text{naive}}|_{g = g_p(\mu)}$$ que es una descripción razonablemente buena, incluso cuando se tienen en cuenta todos los efectos cuánticos/de bucle, porque los bucles se cortan en la escala baja$\mu$. Así, en la imagen wilsoniana, las cantidades observadas se traducen directamente en acoplamientos.

A continuación, como somos físicos de alta energía, queremos usar esta información para encontrar una teoría más fundamental, válida hasta una escala mayor.$\Lambda$. Sea el Lagrangiano para esta teoría fundamental$\mathcal{L}_{\text{fund}}(\Lambda)$. Entonces nosotros tenemos

$$\mathcal{L}_{\text{fund}}(\Lambda) = \mathcal{L}_{\text{eff}}(\mu) + \Delta \mathcal{L}$$ dónde$\Delta \mathcal{L}$se encuentra integrando los grados de libertad entre$\mu$y$\Lambda$. Ahora,$\mathcal{L}_{\text{CT}}$se encuentra calculando exactamente las mismas integrales, pero entre$0$y$\Lambda$. (La diferencia en el límite inferior se debe a que el ingenuo Lagrangiano no explica ningún efecto cuántico, mientras que$\mathcal{L}_{\text{eff}}(\mu)$explica los efectos cuánticos a escala$\mu$, y no importa tanto.)

Por lo tanto, en comparación con lo que encontramos anteriormente,

• el Lagrangiano renormalizado es el Lagrangiano efectivo wilsoniano
• el lagrangiano desnudo es el lagrangiano fundamental
• el contratérmino es el término necesario para compensar el flujo de RG entre ellos

Tenga en cuenta que en las tres versiones presentadas anteriormente he incluido un límite finito. Si existe un límite continuo, podemos tomar$\Lambda \to \infty$para el lagrangiano desnudo/fundamental.

Una sutileza final: cuando podemos tomar este límite, ¡los contratérminos son finitos! Son solo la diferencia entre la teoría efectiva de baja energía y algún punto fijo RG. Solo pensamos que los contratérminos divergen porque divergen orden por orden en una expansión en serie. Esto no significa que todo el contratérmino diverja; tenga en cuenta que

$$\lim_{x \to \infty} \exp(-x) = 0$$ pero los términos de la serie de Taylor divergen individualmente.

La respuesta corta a la pregunta del título es "No". Como hay mucha confusión en la terminología, intentaré dar una idea clara de qué tipo de lagrangianos diferentes encontramos en esta discusión.

Lagrangiano desnudo

Este es el Lagrangiano que codifica el contenido de campo básico y la forma de la teoría, define los términos cinéticos y de interacción. Para$\phi^3$teoría (estoy usando el ejemplo de Srednicki , donde puede encontrar muchos más detalles sobre todo el tema), está dada por

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{2}\partial^\mu\phi_0\partial_\mu\phi_0-\frac{1}{2}m_0^2\phi_0^2+\frac16g_0\phi_0^3+Y_0\phi_0.$$

Las cantidades que aparecen en esta expresión se conocen como campos desnudos y parámetros desnudos.

Lagrangiano renormalizado

Después del procedimiento de renormalización (en el$\overline{MS}$esquema), terminamos con una expresión de la forma

$$\mathcal{L}=-\frac12Z_\phi\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi-\frac12Z_mm^2\phi^2+\frac16Z_gg\tilde{\mu}^{\epsilon/2}\phi^3+Y\phi.$$

Los campos y parámetros que aparecen ahora se denominan renormalizados. Tenga en cuenta que estos parámetros no deben interpretarse como cantidades observables físicamente. La masa física de la partícula, por ejemplo, no corresponde a la$m$en el Lagrangiano, pero está dada por la ubicación del polo del propagador. El grupo de renormalización nos dice cómo evolucionan los parámetros en el Lagrangiano con la escala de energía de la teoría. Además, tenga en cuenta que el contratérmino Lagrangiano está implícitamente presente en la expresión anterior.

Lagrangiano efectivo

El Lagrangiano efectivo sigue siendo un Lagrangiano renormalizado, pero los parámetros ahora tendrán una dependencia adicional: no son solo una función de la escala de energía, sino también del corte. La acción que aparece en la integral de trayectoria de tal teoría de campo efectiva se denomina acción efectiva wilsoniana.