Teorías de campos cuánticos libres como puntos fijos de Wilsonian RG

Considere la teoría del campo cuántico Euclidean Klein Gordon en el espacio-tiempo toroidal$X\simeq S^1\times \cdots\times S^1$, con acción

$$S(\varphi) = \int_X \varphi(\Delta+m^2)\varphi$$

y campo escalar$\varphi\in C^\infty_X$, el espacio de funciones suaves en$X$. Aquí,$\Delta$es el operador de Laplace correspondiente a la métrica plana estándar en el toro. La afirmación es que esta teoría es invariante bajo el semigrupo de renormalización de Wilson.

Para formular esta afirmación con precisión, dejemos$C^\infty_{(a,b)}$denote el tramo lineal de funciones suaves con valor propio en$(a,b)$bajo aplicación de$\Delta$, y descomponer el espacio de funciones suaves según los valores propios del operador de Laplace:

$$C^\infty_{[0,\Lambda)} \simeq C^\infty_{[0, \Lambda')}\oplus C^\infty_{[\Lambda',\Lambda)}.$$

Usando la fórmula para la acción del semigrupo de renormalización wilsoniana$S[\Lambda]\to S[\Lambda']$en el espacio de las teorías cuánticas de campos como se da en Renormalización y Teoría Efectiva de Campos , tenemos, por$\varphi\in C^\infty_{[0, \Lambda')}$,

$$S[\Lambda'](\varphi)=\frac{\hbar}{i}\log \bigg(\int_{\varphi^\perp \in C^\infty_{[\Lambda',\Lambda)}}d\mu^\perp \exp(iS[\Lambda](\varphi+\varphi^\perp)/\hbar)\bigg),$$

donde hemos factorizado la medida de Feynman de baja energía a partir de la medida de Feynman de mayor energía a través de$d\mu_\Lambda\equiv d\mu_{\Lambda'}\wedge d\mu^\perp$, donde la medida de Feynman $d\mu_\lambda$a escala general de energía$\lambda$se define por la condición

$$\int_{\varphi\in C^\infty_{[0,\lambda)}}d\mu_\lambda \exp(iS[\lambda](\varphi)/\hbar)\equiv 1.$$

Primero tenga en cuenta que el operador$(\Delta+m^2)$radica en el álgebra generada por los operadores$1,\Delta$, y por lo tanto trivialmente respeta la descomposición del espacio propio de$\Delta$. Por lo tanto, los modos del campo escalar están desacoplados y la acción se factoriza como

$$S[\Lambda](\varphi+\varphi^\perp)=S[\Lambda](\varphi)+S[\Lambda](\varphi^\perp),$$

y por lo tanto la integral funcional también factoriza:

$$S[\Lambda'](\varphi)=S[\Lambda](\varphi)+\frac{\hbar}{i}\log \bigg(\int_{\varphi^\perp \in C^\infty_{[\Lambda',\Lambda)}}d\mu^\perp \exp(iS[\Lambda](\varphi^\perp)/\hbar)\bigg),$$

y, por lo tanto, la acción gana a lo sumo una compensación constante, que, no obstante, deja invariable la teoría general. Por lo tanto, la teoría masiva de Klein Gordon y, al parecer, cualquier otra teoría libre que no acople grados de libertad de baja y alta energía, debe ser conformemente invariante, es decir, invariante bajo el semigrupo de renormalización de Wilson. Sin embargo, esta declaración parece contradecir la literatura, así que supongo que estoy buscando la fuente de mi malentendido.