Restricciones de Yang-Mills y corchetes de Poisson

Tengamos restricciones para la teoría de Yang-Mills:

$$\varphi_{a} = \partial_{i}\pi^{i}_{a} - f_{abc}\pi^{b}_{i}A^{c}_{i}.$$ He leído la declaración que $$\tag 1 [\varphi_{a}(\mathbf x), \varphi_{b}(\mathbf y )] = f_{abc}\varphi^{c}(\mathbf x) \delta (\mathbf x - \mathbf y).$$ $(1)$se puede calcular usando corchetes canónicos de Poisson $$[A_{a}^{i}(\mathbf x ), \pi_{b}^{j}(\mathbf y )] = \delta_{ab}\delta^{ij}\delta (\mathbf x - \mathbf y ), \quad [\pi_{a}^{i}(\mathbf x ), \pi_{b}^{j}(\mathbf y )] = [A_{a}^{i}(\mathbf x ), A_{b}^{j}(\mathbf y )] = 0.$$ pero no puedo conseguir $(1)$. El problema está en dos sumandos que tienen la forma $$\tag 2 -\varepsilon_{klm}[\partial_{i}\pi^{i}_{a}(\mathbf x ), A_{m}^{j}(\mathbf y )]\pi_{l}^{j}(\mathbf y) = -\varepsilon_{kla}\pi_{l}^{i}(\mathbf y)\partial_{i}^{\mathbf x}\delta (x - y) = -\varepsilon_{kla}\pi_{l}^{i}(\mathbf y)\partial_{i}^{\mathbf y}\delta(\mathbf x - \mathbf y)$$ por conseguir $(1)$Necesito alejar la derivada de la función delta, pero se puede hacer (en mi opinión) solo si también hay integración de $(2)$encima $x, y$. ¿Dónde cometí el error? Cómo llegar $(1)$?