restricción en la dimensión de escala

Esta es una consecuencia de la representación espectral de Lehman para un operador escalar físico. La función de dos puntos de este operador (el valor esperado del operador con su conjugado) se puede escribir como una integral sobre propagadores:

Donde cada propagador cae como${1\over x^2}$a distancias cortas en 4 dimensiones, y$\rho(s)>0$para todo s (debido a la positividad del espacio de Hilbert --- esta es la norma de un estado, a saber$||\phi(p)|0\rangle||$).

Una superposición de propagadores positivos cayendo como${1\over p^2}$con coeficientes positivos no pueden producir una caída en p grande que es más rápida que${1\over p^2}$. Esto significa que la dimensión de escala asintótica del operador escalar no puede ser inferior a 1 en 4 dimensiones, no puede ser inferior a 1/2 en 3 dimensiones y no puede ser negativa en 2 dimensiones.

Esto no es exactamente matemáticamente cierto, porque puede diseñar un peso espectral que crece cerca de s = 0 como una ley de potencia, para producir una caída más rápida que 1 / p ^ 2. Pero es físicamente cierto de todos modos, porque tal crecimiento requiere un número infinito de especies de partículas en p=0, lo cual es inconsistente con la idea habitual de que una teoría cuántica de campos tiene un número finito de campos elementales, con una entropía térmica finita. La forma de entender esto es que la superposición de cualquier torre finita de partículas con pesos espectrales positivos siempre conduce a una caída de 1/p^2 o más lenta, y un${1\over x^a}$propagador con$a\le 2$

La representación espectral de Kallen-Lehman es un resultado estándar de la teoría de campos, se encuentra en la mayoría de los libros de texto estándar. El artículo original está reimpreso en el volumen de reimpresión de Schwinger "Quantum Electrodynamics".