Restauración de simetría rota espontáneamente a alta energía

Prefacio: altas temperaturas en lugar de altas energías

Parece que confunde las palabras "energía" y "temperatura" cuando lee sobre la "escala alta" en el contexto de su pregunta. Como ha señalado ACuriousMind en la sección de comentarios, si fija la temperatura en cero, entonces, por supuesto, el grupo de simetría EW se rompe de forma independiente en las energías típicas de los procesos. La teoría EW continúa estando en la fase rota, ya que el valor de ruptura de simetría$v$, que denota el doblete de Higgs VEV, es distinto de cero independientemente de las energías.

Sin embargo, en la pregunta escribes sobre el Universo primitivo, y de ahí se deduce que no hablas de la escala de energía, sino de la escala de temperatura. Precisamente, tenemos la relación tiempo-temperatura de la ecuación de Friedmann, y en lugar de la concepción del tiempo para la edad del Universo podemos utilizar la concepción de la temperatura. Puedes pensar que vives en el Universo con temperatura cero; pero el Universo primitivo es uno de alta temperatura. Entonces, ahora su pregunta es sobre la restauración de alta temperatura de la simetría electrodébil, es decir, sobre la dependencia de la temperatura de Higgs VEV$v(T)$.

Temperaturas distintas de cero: la energía libre en lugar de la energía habitual

Cuando se trata de temperaturas distintas de cero, los efectos térmicos toman parte. Precisamente, el sistema termodinámico se describe por el mínimo, no por la energía.$E$, pero el gran potencial termodinámico$G$. Heurísticamente, se explica cambiando la estructura del estado fundamental y las excitaciones para temperaturas distintas de cero. (agregado) A temperatura cero, el vacío es el estado con cero partículas "reales"; sin embargo, está lleno de campos cuánticos y sus excitaciones "virtuales". Sin embargo, a temperaturas distintas de cero, estas excitaciones se vuelven reales y, en lugar del estado de partículas cero, tenemos el estado con "baño térmico". Esto, por supuesto, hace la contribución en cantidades observadas; por ejemplo, definitivamente cambia los VEV, ya que dependen de la definición de vacío. Tal diferencia hace imposible interpretar QFT a temperatura finita$T$como QFT con energías típicas$E \sim T$de procesos, como podemos hacer con la física clásica debido al teorema de equipartición. (adicional)

En casos reales, potenciales químicos por encima de la escala de$1 \text{ GeV}$son pequeños, por lo que$G \approx F$, dónde

$$F \equiv F[\varphi ,T]$$ denota la energía libre, y $\varphi$denota el conjunto de campos de la teoría.

Cuando el espacio es homogéneo, entonces

$$F[\varphi , T] = \Omega V_{eff}[T, \varphi ]$$ El VEV de Higgs $$v(T) \equiv\langle H \rangle,$$ que se rompe $SU_{L}(2)\times U_{Y}(1)$Abajo a $U_{EM}(1)$, es por lo tanto el mínimo de $V_{eff}[\varphi , T]$en vez de $V_{eff}[\varphi , 0]$. Mientras que este último está dado por una acción efectiva de un bucle $\Gamma = \Omega V_{eff}[\varphi , 0]$a temperatura cero (y se usa el QFT de temperatura cero habitual), el primero debe calcularse utilizando métodos QFT de temperatura distinta de cero.

Por lo tanto, es posible que en lugar de$v(0) = v$a temperatura cero, obtendremos que a alguna temperatura distinta de cero$T_{0}$(y en los más grandes)

$$v(T_{0}) = 0,$$ lo que significa la restauración exacta de la simetría (es decir, los bosones de calibre no tienen masa exactamente a temperaturas superiores a $T_{0}$).

Su pregunta: cálculo del potencial de autointeracción de Higgs

El problema ahora es calcular el potencial efectivo distinto de cero del campo de Higgs$V_{eff}(\varphi , T)$. Supongamos que solo está interesado en el potencial de autointeracción de Higgs VEV,$V_{eff}[v(T), T]$. Luego, debe intercalar los otros grados de libertad de SM y, al mismo tiempo, tener en cuenta los efectos de temperatura distintos de cero. Una de las formas de hacer esto es introducir el formalismo de Matsubara , para el cual el potencial efectivo$V_{eff}[v(T), T]$(en la llamada aproximación térmica de bucle único, cuando simplemente ignoramos la interacción entre el doblete de Higgs y los campos de calibre, pero dejamos el término de masa de los campos de calibre) se obtiene a partir de la integral de trayectoria térmica como

$$\tag 1 e^{-\beta V_{eff}[v(T) , T]} = \int D[\varphi]e^{-S^{\beta}[\varphi]},$$ dónde $S_{\beta}[\varphi]$es acción térmica, $$S_{\beta}[\varphi] \equiv \int \limits_{0}^{\beta}d\tau \int d^{3}\mathbf x \left( \frac{1}{4}F_{\mu \nu}^{a}F_{\mu \nu}^{a} + \frac{m^{2}(v(T))}{2}A_{\mu}^{a}A_{\mu}^{a}\right)$$ $\tau$es el tiempo euclidiano y $\beta$es la temperatura inversa.

Aquí escribo solo los grados de libertad del bosón SM ya que en la zona infrarroja, que determina$V_{eff}[v(T), T]$, solo ellos son relevantes. Esto es cierto ya que las frecuencias de Matsubara, que son análogas a las frecuencias de Fourier habituales (y, por lo tanto, a las energías) para temperaturas distintas de cero, para los bosones comienzan desde cero, mientras que para los fermiones no comienzan desde cero y, por lo tanto, estos últimos son irrelevantes. A continuación, debe integrar$A_{\mu}$afuera.

El hecho de que por debajo de tal escala$v(T)$puede ser cero da lugar a la afirmación de que existe tal transición de fase en SM (tipo primero-segundo, o simplemente el cruce).

Desafortunadamente, el tratamiento perturbativo para calcular$V_{eff}[v(T), T]$falla Aquí uso el "perturbativo" en el sentido de que ingenuamente esperamos que la constante de expansión para el potencial efectivo sea$\frac{v(T)}{T}$, que es definitivamente pequeño cerca de la transición. Si es cierto, entonces podemos usar el cálculo de un bucle de acción efectiva, que es simple. Sin embargo, surge el llamado problema infrarrojo: la verdadera constante de expansión es$\frac{T}{v(T)}$. Esto se puede demostrar usando el formalismo de Matsubara$(1)$. Así el cálculo de$V_{eff}[T, v(T)]$es el gran reto. Necesitamos usar métodos no perturbativos para examinarlo. Uno de los métodos más poderosos es la teoría cuántica de campos reticulares.

Sin embargo, existe un argumento heurístico de lo que esperamos de la transición de fase EW. El valor de$v(T)$en sí mismo no es calibre invariante. Puede darse, sin embargo, como

$$v^{2}(T) \equiv \langle \text{vac}| H^{\dagger}H|\text{vac}\rangle$$ Sin embargo, la cantidad anterior no se puede usar como parámetro de orden, ya que es invariable bajo todas las transformaciones de simetría explícitas en SM. Esperamos entonces que las fases con simetría rota e ininterrumpida sean indistinguibles, y por lo tanto no hay transición de fase del segundo tipo). Las simulaciones de red muestran que esto es cierto (es decir, la transición de fase es, en realidad, el primer tipo para masas de bosones de Higgs pequeñas y cruce para masas de bosones de Higgs realistas). $m \approx 125\text{ GeV}$).