Pregunta sobre la demostración del teorema de Goldstone (resumen de Kibble)

Question

Pregunta sobre la demostración del teorema de Goldstone (resumen de Kibble)

minero ciego

Tengo una pregunta específica sobre la prueba de Kibble del teorema de Goldstone, que se encuentra en: http://www.scholarpedia.org/article/Englert-Brout-Higgs-Guralnik-Hagen-Kibble_mechanism#Proof_of_the_theorem

En esta prueba, solo está considerando un campo escalar complejo con $U(1)$ simetría.

Tengo problemas para entender la última línea de la prueba: "Si insertamos un conjunto completo de estados intermedios en (16), vemos que esto implica que debe haber estados que se acoplan al vacío a través de $\phi$ para cual $k_0\rightarrow0$ como $\mathbf{k}\rightarrow\mathbf{0}$ , es decir, estados de partículas sin masa".

Sería genial si alguien pudiera ayudarme con los pasos que está describiendo aquí. He intentado insertar estados intermedios pero no sé cómo llegar a la conclusión final.

Esto es lo lejos que llegué:

F^{0} (k^{0}, k) = - i \int d^{4} X {mi}^{i k \cdot X} ⟨ 0 | [j^{0} (X), ϕ (0)] | 0 ⟩ = - i \int d^{4} X {mi}^{i k \cdot X} \int \frac{d^{3} k^{'}}{(2 π)^{3} 2 {k^{0}}^{'}} (⟨ 0 | j^{0} (X) | k^{'} ⟩ ⟨ k^{'} | ϕ (0) | 0 ⟩ - ⟨ 0 | ϕ (0) | k^{'} ⟩ ⟨ k^{'} | j^{0} (X) | 0 ⟩)

$f^{0}(k^0,\mathbf{k})=-i\int d^4xe^{ik\cdot x}\langle 0\rvert [j^{0}(x),\phi(0)]\lvert 0\rangle \\ = -i\int d^4xe^{ik\cdot x}\int\frac{d^3\mathbf{k'}}{(2\pi)^32 {k^{0}}'}(\langle0\rvert j^0(x)\lvert k'\rangle\langle k'\rvert\phi(0)\lvert 0\rangle-\langle0\rvert \phi(0)\lvert k'\rangle\langle k'\rvert j^0(x)\lvert 0\rangle)$ , donde he insertado estados intermedios usando normalización relativista. Lo sabemos

f^{0} (k^{0}, 0) \propto δ (k^{0})

$f^0(k^0,\mathbf{0})\propto\delta(k^0)$ por lo que la contribución anterior se centra en

k^{0} = 0

$k^0=0$ como

k \to 0

$\mathbf{k}\rightarrow\mathbf{0}$ . Pero espero que haya un

δ^{(3)} (k - k^{'})

$\delta^{(3)}(\mathbf{k}-\mathbf{k'})$ de algún tipo para deshacerse de la integral sobre k prima para que podamos llegar a alguna conclusión acerca de k en lugar de k prima. Tal vez

j^{0} (x)

$j^0(x)$ necesita ser ampliado en términos de operadores?

¡Muchas gracias por su ayuda!

Cosmas Zachos

Probablemente sea más fácil si nunca escribe la segunda línea, sino que establece k = 0. La exponencial restante exp(itk<sub>0</sub>) le dará la

δ (k^{0})

$\delta(k^0)$ solo si hay algún estado invertible con dependencia de energía 0, es decir que no depende de t , por lo que el resto del integrando es una constante. De hecho, está buscando el modo independiente de t de

j^{0}

$j^0$ .

minero ciego

Lamento tener que hacerle conectar los puntos aquí, pero ¿cómo funciona la independencia temporal de

⟨ 0 | [j^{0} (x), ϕ (0)] | 0 ⟩

$\langle 0\rvert [j^0(x),\phi (0)]\lvert 0\rangle$ implica la existencia de algún estado sin masa?

Cosmas Zachos

Quise decir "estado intermedio" ahí arriba. Ignoras los estados de energía positiva y buscas algún estado de energía cero.

⟨ 0 | j^{0} (0) \exp (- i t k_{0}^{'}) | k^{'} ⟩

$\langle 0|j^0(0) \exp(-it k_0')|k'\rangle$ que es independiente del tiempo, por lo que

k_{0}^{'} = 0

$k_0'=0$ . No se cancelará con su siguiente cc, por lo que producirá una constante, lo que conducirá a la δ-fctn en

k^{0}

$k^0$ buscado en la integral. No quiero preocuparme por la normalización relativista, razón por la cual no me aventuré en su segunda línea.

Respuestas (1)

Pregunta sobre la demostración del teorema de Goldstone (resumen de Kibble)

Probablemente sea más fácil si nunca escribe la segunda línea, sino que establece k = 0. La exponencial restante exp(itk<sub>0</sub>) le dará la $\delta(k^0)$ solo si hay algún estado invertible con dependencia de energía 0, es decir que no depende de t , por lo que el resto del integrando es una constante. De hecho, está buscando el modo independiente de t de $j^0$ .
Lamento tener que hacerle conectar los puntos aquí, pero ¿cómo funciona la independencia temporal de $\langle 0\rvert [j^0(x),\phi (0)]\lvert 0\rangle$ implica la existencia de algún estado sin masa?
Quise decir "estado intermedio" ahí arriba. Ignoras los estados de energía positiva y buscas algún estado de energía cero. $\langle 0|j^0(0) \exp(-it k_0')|k'\rangle$ que es independiente del tiempo, por lo que $k_0'=0$ . No se cancelará con su siguiente cc, por lo que producirá una constante, lo que conducirá a la δ-fctn en $k^0$ buscado en la integral. No quiero preocuparme por la normalización relativista, razón por la cual no me aventuré en su segunda línea.

minero ciego · Answer 1

Siguiendo lo expuesto por Cosmas Zachos en sus comentarios,

F^{0} (k^{0}, 0) = - i \int d^{4} X {mi}^{i k^{0} t} ⟨ 0 | [j^{0} (X), ϕ (0)] | 0 ⟩ = gramo d (k^{0}),

$f^0(k^0,\mathbf{0})=-i\int d^4xe^{ik^0t}\langle 0\rvert [j^0(x),\phi(0)]\lvert 0\rangle = g\delta(k^0),$ para alguna constante g distinta de cero. Para que esto se mantenga, necesitamos

⟨ 0 | [j^{0} (x), ϕ (0)] | 0 ⟩

$\langle 0\rvert [j^0(x),\phi(0)]\lvert 0\rangle$ ser independiente del tiempo. Insertando estados intermedios,

⟨ 0 | [j^{0} (X), ϕ (0)] | 0 ⟩ = \sum_{k^{'}} (⟨ 0 | j^{0} (X) | k^{'} ⟩ ⟨ k^{'} | ϕ (0) | 0 ⟩ - C . C .)

$\langle 0\rvert [j^0(x),\phi(0)]\lvert 0\rangle = \sum_{k'}(\langle 0\rvert j^0(x)\lvert k'\rangle\langle k'\rvert\phi(0)\lvert 0\rangle - c.c.)$ Ahora

⟨ 0 | j^{0} (X) | k^{'} ⟩ = ⟨ 0 | {mi}^{i \hat{PAG} \cdot X} j^{0} (0) {mi}^{- i \hat{PAG} \cdot X} | k^{'} ⟩ = ⟨ 0 | j^{0} (0) {mi}^{- i k^{'} \cdot X} | k^{'} ⟩,

$\langle 0\rvert j^0(x)\lvert k'\rangle=\langle 0\rvert e^{i\hat{P}\cdot x}j^0(0)e^{-i\hat{P}\cdot x}\lvert k'\rangle=\langle 0\rvert j^0(0)e^{-ik'\cdot x}\lvert k'\rangle,$ dónde

\sum_{k^{'}}

$\sum_{k'}$ es una abreviatura de

\int \frac{d^{3} k^{'}}{(2 π)^{3} 2 k^{' 0}}

$\int\frac{d^3\mathbf{k'}}{(2\pi)^3 2k'^{0}}$ y

\hat{P} = (\hat{H}, \hat{p})

$\hat{P}=(\hat{H},\hat{\mathbf{p}})$ (

\hat{H}

$\hat{H}$ es el hamiltoniano y

\hat{p}

$\hat{\mathbf{p}}$ es el operador de cantidad de movimiento total). Para que esto sea independiente del tiempo, los estados que contribuyen al elemento de matriz deben tener

k^{' 0} = 0

$k'^0=0$ , es decir, no tienen masa. Debe haber tales estados ya que

g \neq 0

$g\neq 0$ .

¿ Cómo sabemos que debe haber un nuevo estado sin masa adicional ? ¿Por qué este estado sin masa no puede ser el vacío?
Si el único estado intermedio es el vacío obtendríamos directamente $\langle 0| [j^0(x),\phi(0)] |0\rangle=0$ , lo cual es una contradicción.

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minero ciego

Cosmas Zachos

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Cosmas Zachos

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minero ciego

ersbygre1

minero ciego

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