¿SU(2)SU(2)SU(2) está realmente roto por el VEV de Higgs o simplemente está oculto?

Ampliaré el punto anterior de que los números no se transforman bajo simetrías, solo los multipletes lo hacen. Su texto QFT debe explicar esto claramente al presentar SSB. Si no, prueba el excelente S Coleman, Aspects of Symmetry, 1985 .

Por supuesto, la simetría sigue ahí , tan sólo oculta: ¡un cambio de variables no puede alterar ni la física ni las matemáticas! Las corrientes y cargas involucradas se conservan, aunque ahora se realizan en el modo no lineal Nambu-Goldstone. La pregunta que esencialmente está haciendo es cómo "ver" la ruptura aparente. Absorbiendo las dimensiones relevantes en prefactores, el vev v es solo un número, como 5 o 37. Entonces, mientras que < Φ >= (0, v ) se transforma bajo la simetría, por sí mismo, de forma aislada, en el término de masa de electrones, no se transforma más que 5 o 37 bajo una simetría.

Permítanme dramatizar el punto ahorrándoles el andamiaje físico evidentemente confuso, solo considerando dos 2-vectores reales ( A,B ) y ( a,b ). Su producto escalar (A,B).(a,b)=Aa+Bb es un escalar, invariante bajo una rotación por θ, tómelo como infinitesimal, por simplicidad, entonces a → a+θb, A → A+θB , segundo → segundo -θa, segundo → segundo -θA . Entonces, la variación O(θ) bajo la rotación se desvanece.

Cambiar las variables a b = 37+ b' no cambiaría el vector, ni su producto escalar, Aa+Bb'+37B , que seguro parece asimétrico, ahora (aunque ahora sabes de dónde vino, por lo que es simétrico). A fortiori, si eliges el vector <( a,b )>=(0,37), su producto escalar también sería invariante bajo rotaciones, aunque seguro parece 37 B , ahora, si no supieras su pasado: que es un valor específico de un 2-vector ( a,b ).

En las variables desplazadas, δa= θ(37+b') , y δb'= -θa , y por supuesto, no transforma el número 37. Aún así, el producto escalar asimétrico anterior es invariable. Parece asimétrico, tan "roto", con este extraño término adicional de 37B, pero puede trabajar hacia atrás y modificar sus leyes de transformación lineal para que sea invariable, bajo el que acabamos de usar, y luego trabajar hacia atrás para "ver" el simetría.

Ahora, lo que Tony Zee está sugiriendo, un poco elípticamente, es que sería concebible, bajo diferentes circunstancias, romper/ocultar algunas simetrías, pero no otras. Por ejemplo, si uno tuviera un 3 vector vev (0,0, v ), habría una simetría que rotaría el primer y el segundo componente entre sí, y aún se realizaría linealmente, dejando este vev invariable. Si repitiera todo esto para los 3 vectores, todavía vería una simetría residual manifiesta (modo Wigner-Weyl) en su producto escalar entre el primer y el segundo componente. En el modelo estándar, sin embargo, señala Zee, esto no sucede: todo el SU(2) se rompe/oculta de esta manera.

En primer lugar, para mostrar la invariancia del término$\bar{\psi}_L \phi \psi_R$, tienes que transformar respectivamente:

$\psi_L \to e^{-i \alpha^a(x) \frac{\sigma_a}{2} -i \alpha(x) \frac{Y}{2}} \psi_L$

$\psi_R \to e^{-i \alpha(x) \frac{Y}{2}} \psi_R$

$\phi \to e^{-i \alpha^a(x) \frac{\sigma_a}{2} -i \alpha(x) \frac{Y}{2}} \phi$

(a=1,2,3) por lo que la invariancia requiere el término$e^{i \frac{\alpha(x)}{2} (y_{L} - y_\phi - y_R)}$ser igual a 1, es decir$y_{L} - y_\phi - y_R = 0$dónde$y_L,y_R$y$y_\phi$son respectivamente la hipercarga débil del doblete zurdo$\psi_L$, camiseta diestra$\psi_R$y el doblete de Higgs. (Su$U$la matriz era solo$e^{-i \alpha^a(x) \frac{\sigma_a}{2}}$). De paso, la hipercarga del Higgs ($y_\phi=1)$se elige en consecuencia explicando por qué el campo complejo cargado positivamente es el componente superior del campo de Higgs ($Q = T_3 + \frac{Y}{2}$con$T_3 = \frac{\sigma_3}{2}$).

En segundo lugar, después de la ruptura espontánea de la simetría, el término se reduce a$v \bar{e}_R e_L$(+el acoplamiento de Higgs) usando$\psi_L = \begin{pmatrix}\nu_L\\ e_L\end{pmatrix}$como escribiste Ahora, si lo transformas bajo la simetría, dado que la regla de transformación para el componente zurdo del electrón difiere de la del componente derecho, el término ya no es invariante ($v$siendo un número simple no afectado por la transformación).