Resolviendo la ecuación de Schrödinger por redes neuronales - explicación de la función de prueba

Estoy leyendo este artículo sobre cómo resolver la ecuación de Schrödinger usando la combinación de algoritmo genético y redes neuronales.

Pero una parte me confunde: el autor define su función de prueba, es decir, la función, lo que significa el error de aproximación tanto de la función de onda ψ ( X ) y la energía correspondiente mi como esto:

R = ⟨ ψ | H ^ − mi | ψ ⟩ ⟨ ψ | ψ ⟩

Realmente no entiendo lo que significa esta fórmula. Supongo que está relacionado con el valor esperado del hamiltoniano, pero no lo entiendo en profundidad. ¿Qué significa restar un número de un operador? y que hace ⟨ ψ | ψ ⟩ en la media del denominador (lo sé, que para "preciso" ψ es igual a 1)?

¿Podrías, por favor, explicármelo con más detalle?

Respuestas (1)

¿Qué significa restar un número de un operador?

Estoy de acuerdo en que puede parecer extraño hacer esto. Por ejemplo, si representamos a nuestros operadores como matrices, ¿cómo restamos un número de la matriz? Para evitar esto, puedes pensar en H ^ − mi como H ^ − mi I ^ , dónde I ^ es solo el operador de identidad.

O lo que puedes hacer es romper el producto interno:

⟨ ψ | H ^ − mi | ψ ⟩ = ⟨ ψ | H ^ | ψ ⟩ − ⟨ ψ | mi | ψ ⟩

y que hace ⟨ ψ | ψ ⟩ en la media del denominador?

Si nuestro estado está normalizado, entonces esto es igual a 1 . Pero no tenemos que trabajar con estados normalizados. Si elegimos no trabajar con estados normalizados, debemos incluir esto en el denominador. Por qué necesitamos hacerlo se explica a continuación:

Parece que la cantidad que quieren calcular es solo el valor esperado de qué tan lejos está la energía. mi es del valor medio real del hamiltioniano H ^ . Por lo tanto, desearíamos calcular el valor ⟨ H ^ − mi ⟩ , es decir, el valor esperado de una medida de H − mi . Si no estamos trabajando con estados normalizados, entonces necesitamos incluir el término en el denominador para normalizar todo. Por lo tanto, terminamos con

R = ⟨ ψ | H ^ − mi | ψ ⟩ ⟨ ψ | ψ ⟩

O si quieres hacer algunos cálculos extra:

⟨ ψ | H ^ − mi | ψ ⟩ ⟨ ψ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | H ^ | ψ ⟩ ⟨ ψ | ψ ⟩ − ⟨ ψ | mi | ψ ⟩ ⟨ ψ | ψ ⟩ = ⟨ H ^ ⟩ − mi

Entonces, es solo el valor esperado del hamiltoniano restado por el valor mi . Cuanto más se acerque este valor a 0 , más confiados estamos en usar mi para aproximar la "energía real" ⟨ H ^ ⟩ .

¡Genial, muchas gracias! Entonces, si te entiendo bien, el valor esperado "general" se define como ⟨ ψ | H ^ | ψ ⟩ ⟨ ψ | ψ ⟩ ?
@Eenoku Sí, ese es el valor esperado de H ^ . También es una pequeña cosa en caso de que necesite usarlo, use "\langle" y "\rangle" en lugar de usar "\left <" y "\right">. Puedes mirar la edición que hice a tu pregunta si quieres :)
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