Resolviendo la ecuación de Schrödinger para el experimento de doble rendija

La ecuación de Schrödinger más simple que se me ocurre para este problema tiene una barrera de potencial infinitamente delgada con una altura infinita en las ubicaciones desde las que se debe reflejar el electrón. La ecuación de Schrödinger en este límite es equivalente a la de potencial constante, pero con una condición límite complicada:

dónde$y_1$y$y_2$son coordenadas de una de las rendijas, y la otra rendija es opuesta a la primera con respecto a la$x$eje.

Entonces, este problema se puede resolver como en el caso de la dispersión de ondas mediante un conjunto de cilindros elípticos (con el eje menor puesto a cero). Tales problemas de dispersión para ondas planas se pueden resolver en términos de expansiones en las funciones de Mathieu . Un ejemplo de tal expansión, ver en [1] (paywalled).

Como una forma de simplificar un poco este problema, si solo estamos interesados ​​en el campo lejano, podemos considerar dos tiras paralelas en lugar de rendijas y luego aplicar el principio de Babinet para encontrar la solución al problema original con rendijas. Este es el camino que desea seguir si sigue [1] directamente (ya que se trata de dos tiras).

[1]: H. Ragheb y M. Hamid, "Dispersión por dos bandas conductoras de bordes paralelos", can. J. Phys., vol. 66, págs. 376-383, mayo de 1988.

Solo esbozaré cómo se llegaría a la ecuación real, ya que soy bastante perezoso en este momento.

Primero, deberá decidir cuántas dimensiones espaciales desea incluir: obviamente, un experimento de doble rendija no funcionará en una dimensión, por lo que necesitamos al menos dos (que luego se pueden generalizar a tres con bastante facilidad).

Básicamente, tiene un problema de dispersión bidimensional, para el cual se necesitaría un cierto potencial:

Suponga que las olas llegan desde$x = -\infty$paralelo a la$x$eje, para ser dispersado en un potencial$U(x,y)$.$U$debiera ser$0$casi en todas partes excepto por cierta barrera, posiblemente ubicada alrededor del$y$eje. Algo como esto debería hacer:

$U_1$tiene la intención de describir un potencial de altura$u_0$en la zona donde$0 < x < 1$y$y > y_1$(es decir, la parte superior de la barrera).$U_2$describe un potencial similar para$0 < x < 1$y$- y_0 < y < y_0$,$U_3$es parecido a$U_1$en el semiplano inferior para$y < -y_0$.

Como puede ver, este potencial carece básicamente de cualquier simetría que uno pueda esperar remotamente. Probaría un ansatz de onda plana, pero realmente no es agradable.

¿Quizás alguien más tiene una idea mejor? :)

Le sugiero que consulte la siguiente referencia sobre potencial cuántico , en la que la teoría de De Broglie-Bohm considera ese famoso experimento según su punto de vista pseudoclásico, en el que se sigue de manera significativa la trayectoria de la partícula, explicando su comportamiento intrínseco debido a la hecho de que el potencial derivado$Q(\vec{x},t)$, tiene que ver directamente con la conducta cuántica (desde el centro de masa de la partícula), independientemente de lo habitual$U(\vec{x},t)$. En otras palabras, Bohm considera que la función de onda se puede escribir como$\Psi(\vec{x},t)=R(\vec{x},t)\cdot\exp{[\frac{i}{\hbar}\cdot S(\vec{x},t)]}$, dónde$R\doteq{\rho}^{0.5}$representa la densidad de probabilidad y$S$es la acción ya conocida. Después de presentar$\Psi$en la ecuación de Schrödinger, se obtiene que$Q(\vec{x},t)\propto\dfrac{\nabla^2 R}{R}$. En las referencias del primer enlace, puede encontrar muchos artículos que nos explican cómo, considerando la Mecánica Cuántica de esta manera, podemos apreciar/seguir casi determinísticamente la trayectoria de la partícula.