Experimento cuántico de doble rendija y ecuación de Schrödinger

Considere el experimento cuántico de doble rendija, donde una onda plana, con frecuencia$\omega$, viaja en una dirección ortogonal a la pantalla de hendidura y es incidente en esa pantalla. Entonces, de la rendija 1, emerge una onda radial de la forma$r^{-1}_1 e^{-i(kr_1- \omega t)}$, dónde$r_1$se mide desde la rendija 1 y, desde la rendija 2, emerge una onda radial de la forma$r^{-1}_2 e^{-i(kr_2-\omega t)}$, dónde$r_2$se mide desde la rendija 2. Tenga en cuenta que$r^{-1}_1 e^{-i(kr_1-\omega t)}$satisface la ecuación de Schrödinger cuando se expresa en coordenadas polares$(r_1, \theta_1)$y es una función propia del hamiltoniano de esa ecuación. Similarmente,$r^{-1}_2 e^{-i(kr_2-\omega t)}$satisface la ecuación de Schrödinger cuando se expresa en coordenadas polares$(r_2, \theta_2)$y es una función propia del hamiltoniano de esa ecuación.

La función de onda total es la suma de las dos ondas:$(r^{-1}_1 e^{-ikr_1} + r^{-1}_2 e^{-ikr_2})e^{i \omega t}$. Esto produce el famoso patrón de interferencia en el detector.

Si ambas ondas radiales se representan en términos del mismo sistema de coordenadas polares$(r, \theta)$, en lugar de en términos de$(r_1, \theta_1)$y$(r_2, \theta_2)$, como arriba, entonces la función de onda total satisfará la ecuación de Schrödinger, en el$(r,\theta)$¿sistema coordinado? Claramente, necesitamos que la función de onda total sea una función propia del hamiltoniano en esa ecuación.

Así que dudo que la suma de las dos ondas radiales anteriores sea una solución a la ecuación de Schrödinger. Sin embargo, debe serlo, ya que sabemos que el experimento implica interferencia entre las dos ondas radiales de la función de onda. Entonces, ¿cómo mostramos que la suma de las dos ondas radiales anteriores es una solución a la ecuación de Schrödinger?

Quizás, para obtener una idea, otra forma de pensar en esto es considerar dos ondas radiales que tienen el mismo$\omega$,$k$, fase y punto central. Suponga que ambos están representados en el mismo sistema de coordenadas polares$(r, \theta)$donde el origen de coordenadas está en el punto central de las ondas. Luego movemos cada onda para que tengan diferentes puntos centrales, de modo que ninguno esté en el origen de las coordenadas. Sin embargo, no creo que los operadores de traducción cartesianos, que uno podría usar para hacer esto, cuando se representan en$(r, \theta)$coordenadas polares, conmuta con el hamiltoniano en$(r, \theta)$forma polar.