Entropía de entrelazamiento de fermión quiral 1D

Me dijeron que la entropía de entrelazamiento$S_E$en el estado fundamental de una teoría de campo conforme (CFT) (1 + 1) D sigue el comportamiento logarítmico$S_E=\frac{c}{12}\ln L$dónde$L$es la escala de longitud entre los cortes de enredo. No sé cómo funciona la CFT, así que me gustaría convencerme partiendo de un caso especial, digamos el fermión quiral (y libre).

Mi pregunta es cómo calcular la entropía de entrelazamiento del fermión quiral 1D utilizando el segundo lenguaje de cuantificación sin hacer referencia a la bosonización o el mapeo a CFT.

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Aquí está mi intento de abordar el problema. Supongamos que tenemos una cadena de fermiones quirales descrita por el hamiltoniano$H=\sum_k k c_k^\dagger c_k$. Considere el estado fundamental (a temperatura cero), sería$|\psi\rangle=\prod_{k<0}c_k^\dagger |0\rangle$. La matriz de densidad se puede construir a partir del estado fundamental como$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$. Luego debo hacer cortes entrelazados para separar el sistema en los sectores A y B. Trazar los grados de libertad del fermión en B para obtener la matriz de densidad reducida$\rho_A=\mathrm{Tr}_B\rho$. Entonces se suponía que debía diagonalizar$\rho_A$para encontrar el espectro de entrelazamiento y evaluar la entropía de entrelazamiento.

Pero cuando traté de resolver los detalles, me quedé atascado en los últimos pasos. Permítanme ilustrar lo que he obtenido hasta ahora. Primero en entender la estructura de$\rho$, comencé con la función de correlación y encontré

$$\begin{split} \mathrm{Tr}\rho c_{x_1}^\dagger c_{x_2} &= \langle c_{x_1}^\dagger c_{x_2} \rangle\\ &=\sum_{k_1 k_2}\langle c_{k_1}^\dagger c_{k_2}\rangle e^{i(k_2 x_2-k_1x_1)}\\ &=\sum_{k<0} e^{ik(x_2-x_1)}\\ &\simeq \frac{i}{x_1-x_2},\end{split}$$ dónde $x_1$y $x_2$son dos coordenadas espaciales restringidas en el sector A. Entonces, en el subespacio de una partícula, la matriz de densidad debe ser $$\rho_{A1}=\int_0^L\mathrm{d}x_1\int_0^L\mathrm{d}x_2\;c_{x_1}^\dagger\frac{i}{x_1-x_2}c_{x_2}.$$ También noté que en el subespacio de partículas cero, la matriz de densidad es simplemente la identidad $\rho_{A0}=1$. Así que generalizaría que en el $n$espacio de partículas, la matriz de densidad debe ser $\rho_{An}=\rho_{A1}^n$. (Avíseme si me equivoco aquí). Entonces, la matriz de densidad reducida sería $$\rho_A=\sum_{n=0}^{\infty}\rho_{An}=(1-\rho_{A1})^{-1}.$$ Así que aquí es donde me detuve. No puedo entender cómo diagonalizar la matriz de densidad reducida $\rho_A$. Incluso para $\rho_{A1}$, no sé cómo lidiar con eso. Los cortes de entrelazamiento rompen la simetría traslacional del espacio, y no puedo hacer la diagonalización mediante la transformada de Fourier al espacio de momento. Incluso si probé algunos números por discretización, los valores propios varían de negativo a positivo, y no puedo encontrar una pista. Agradecería mucho si alguien pudiera ayudarme desde aquí.