¿Cuál es la importancia física de las relaciones de conmutación del momento angular?

Breve introducción a las escaleras

Como dices, son operadores de escalera. Deshagámonos de lo molesto$\hbar$fijándolo a uno, y llámelos más sistemáticamente$L_{-1},L_0,L_1$en lugar de$L_-,L_z,L_+$.

Entonces, las relaciones de conmutación toman la forma uniforme

$$[L_n,L_m] = (n-m)L_{m+n}$$

Si tuviéramos contablemente muchos de estos, tendríamos un álgebra de Witt , si hubiera una carga central, eso se convertiría en un álgebra de Virasoro , pero quedémonos con estos tres por ahora.

Ahora, los operadores de escaleras deben subir y bajar cosas, correcto, al igual que subir y bajar una escalera. Todo comienza con vectores propios$\lvert l \rangle$de$L_0$, es decir$L_0\lvert l \rangle = l \lvert l \rangle$. Ahora, a través de las relaciones de conmutación, obtenemos que

$$L_0(L_{-1})\lvert l \rangle = (l-1)(L_{-1})\lvert l \rangle \; \text{and} \; L_0(L_{1})\lvert l \rangle = (l+1)(L_{1})\lvert l \rangle$$

entonces$L_{1}$ levanta el peso $l$del vector por$1$, mientras$L_{-1}$ reduce el peso del vector en$1$.

La importancia física

Cada vez que vea un álgebra como esta, significa que el valor propio de$L_0$está cuantificado , ya que los operadores de escalera suben/bajan el peso en pasos discretos . Significa que, en términos de las operaciones naturales en el espacio vectorial en el que existe una representación de este álgebra, los espacios generados por vectores propios de$L_0$si bien no se diferencian por los números naturales no se superponen . En particular, si sabe que debe haber un estado de ponderación más alto/más bajo del cual surgen todos los demás al aplicar los operadores de escalera, conoce el conjunto discreto completo de valores propios de$L_0$permitido para el sistema bajo consideración, y de hecho podemos encontrar todas las representaciones permitidas .

El álgebra que estamos viendo es en realidad$\mathfrak{su}(2)$, que Lie integra a la funda universal$\mathrm{SU}(2)$del grupo de rotación$\mathrm{SO}(3)$, entonces lo que estamos construyendo son las representaciones spinor de QM no relativista.

La técnica del peso más alto

Buscamos representaciones unitarias, irreductibles$V$del álgebra. Unitaridad significa que$L_n^\dagger = L_{-n}$, irreductibilidad de que no hay subrepresentación$W \subset V$.

Dejar$\lvert l \rangle$ser un vector de mayor peso, es decir$L_{1}\lvert l \rangle = 0$. Defina el módulo Verma (no intente entender la definición matemática de esto si no está preparado para las matemáticas serias)

$$\tilde{V}_l := \mathrm{span}\{L_{-1}^n\lvert l \rangle \vert n \in \mathbb{N}\}$$

La unitaridad exige además que la representación que nos gustaría obtener posea un producto interno definido positivo. Normalizar$\langle l \vert l \rangle$y examinar los vectores de nivel 1 $L_{-1}\lvert l \rangle$:

$$\langle l \rvert L_1 L_{-1} \lvert l \rangle = 2l \overset{!}{\ge} 0$$

Entonces,$l < 0$está fuera del juego. Si$l = 0$, entonces$L_1(L_{-1}\lvert l \rangle) = 2l\lvert l \rangle = 0$, entonces$L_{-1}\lvert l \rangle$es el segundo vector de peso más alto y genera el subrep$\tilde{V}_{-1} \subset \tilde{V}_0$. Podemos obtener una representación unitaria e irreducible estableciendo

$$V_0 := \tilde{V}_{0} / \tilde{V}_{-1}$$

que es el espín trivial$0$reps.

Una generalización del argumento anterior nos lleva a afirmar que los vectores de nivel n $\lvert v \rangle = L_{-1}^n\lvert l \rangle$tener norma

$$\langle v \vert v \rangle = \prod_{i = 0}^{n-1} (2l - i)$$

que no es unitario para$l \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}$y tiene vectores nulos de lo contrario. Las repeticiones unitarias irreducibles se obtienen generalmente por

$$V_l := \tilde{V}_{l}/\tilde{V}_{-l-1} \; \text{with} \; l \in \frac{1}{2}\mathbb{N}$$

La conclusión

Fueron las relaciones de conmutación por sí solas (junto con las condiciones de unitaridad ordinarias) las que nos han mostrado que el espín/momento angular está restringido a semienteros y enteros. Si se piensa más, se puede ver que las repeticiones semienteras no inducen repeticiones del$\mathrm{SO}(3)$, pero solo de los$\mathrm{SU}(2)$, y que, por lo tanto, el momento angular "verdadero" se cuantifica como un número entero. La cuantificación de tales cargas generalizadas (en el sentido de Noether) es, por lo tanto, una consecuencia natural de la relación de conmutación del álgebra del grupo de simetría asociado (Lie).