Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales no homogéneas utilizando el método de variación de parámetros

Lo mapearé y usted puede completar los detalles. Se nos da

$$y'= Ay + g = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & -1\end{pmatrix}y+\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\cos x} \\ 0\end{pmatrix}$$

Usando valores propios / vectores propios (u otros enfoques), encontramos la solución homogénea

$$Y_h(x) = c_1\begin{pmatrix}\sin x + \cos x \\ 2\sin x\end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix}-\sin x \\ \cos x - \sin x\end{pmatrix}$$

Para la variación de parámetros (también hay otros enfoques), seguiremos el Ejemplo 2

$$Y = \begin{pmatrix}\sin x + \cos x & -\sin x \\ 2\sin x & \cos x - \sin x \end{pmatrix} \implies Y^{-1} = \begin{pmatrix} \cos x-\sin x & \sin x \\-2 \sin x & \sin x + \cos x \end{pmatrix}$$

ahora formamos

$$Y^{-1} g = \begin{pmatrix} \cos x -\sin x & \sin x \\-2 \sin x & \sin x + \cos x \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\dfrac{1}{\cos x} \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sec x ~(\cos x - \sin x) \\ -2 \tan x \end{pmatrix}$$

A continuación integramos el resultado anterior

$$\displaystyle \int Y^{-1}g ~dx = \begin{pmatrix} x+\ln (\cos x) \\ 2 \ln (\cos x) \\ \end{pmatrix}$$

Ahora podemos escribir la solución particular$Y_p(x) = Y \displaystyle \int Y^{-1}g~ dx$

$$Y_p(x) = \begin{pmatrix} \cos x (x+\ln (\cos x))+\sin x (x-\ln (\cos x)) \\2 (x \sin x +\cos x \ln (\cos x))\end{pmatrix}$$

Ahora escribe

$$Y(x) = Y_h(x) + Y_p(x)$$