Resolver ecuaciones de funciones especiales usando simetrías de mentira

El enfoque de la teoría del grupo de mentiras + la representación de las funciones especiales y cómo resuelven el surgimiento de la oda en la física es absolutamente asombroso. He dado un ejemplo de su poder a continuación en la ecuación de Bessel.

El artículo de Kaufman describe métodos algebraicos para tratar con Hermite, Legendre y Associated Legendre. ¿Podemos tomar las otras funciones especiales mencionadas en este artículo, obtenibles como combinaciones lineales de las simetrías conformes del Laplaciano (expresadas como elementos del álgebra de mentira), y obtener su solución de manera análoga a cómo se resuelve Bessel a continuación? Creo que es algo así como una interpretación geométrica del método de Weisner .

La ecuación de Bessel parece estar diciendo: encuentra una función en el plano tal que cuando la desplazamos a la derecha, luego la desplazamos de nuevo a la izquierda, todo localmente (es decir, diferencialmente) en coordenadas polares, obtenemos la misma función:

(cf. Killingbeck, Técnicas y Aplicaciones Matemáticas, sec. 8.21).

La idea es tomar la ecuación de Bessel, factorizarla, agregar una variable adicional para hacer que el parámetro de los factores sea independiente para que se conviertan en elementos de un álgebra de mentira, identificar el significado de esos factores, en este caso observe que los factores del álgebra de mentira son traducciones en Polar coordenadas, y darse cuenta de que es sólo una expresión diferencial de una simetría.

La ecuación de Bessel surge de$LRv = v$cuando expresas$L$&$R$en coordenadas polares. Tiene sentido expresarlos en coordenadas polares ya que Bessel surge de separar el Laplaciano asumiendo simetría cilíndrica, y el$LRv = v$suposición (no$LRv = w$) está motivado por la simetría del laplaciano.

¡Usando esta idea podemos, por alguna razón, resolver la ecuación de Bessel con una imagen!:

Solo queremos cambiar$\mathcal{J}_n(r,\phi)$en la dirección x usando el operador$e^{a\tfrac{\partial}{\partial x}}$expresado en coordenadas polares:$e^{\tfrac{a}{2}(\mathcal{L}-\mathcal{R})}$y darse cuenta de que será igual a$\mathcal{J}_n(r',\phi')$:

Así que la última línea viene de arrastrar todo esto al origen y ponerlo a lo largo del eje x, ¡aquí vemos el significado geométrico de las funciones de Bessel!

Se supone que la hipergeometría está relacionada con$SL(2,R)$simetrías, Bessel a simetrías planas traslacionales, la función Gamma relacionada con simetrías lineales$y = ax + b$, etc... ¿Hay una exposición geométrica unificada fácil sobre cómo tratar con estos bebés?

Sería genial entender las otras ecuaciones, su formulación y solución, con una interpretación geométrica como esta.

Referencias:

1. Killingbeck, Técnicas y aplicaciones matemáticas, sec. 8.21
2. Vilenkin, Representación de grupos de mentiras y funciones especiales vol. 1
3. Vilenkin, Funciones Especiales y Teoría de Representaciones de Grupos
4. Miller, Teoría de la mentira y funciones especiales
5. Kaufman, Funciones especiales de la física matemática desde el punto de vista del álgebra de mentira