En el tratamiento estándar de pregrado de E&M, la Ley de Gauss se establece vagamente como "el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada". De manera equivalente, en forma diferencial y en términos de potencial (en el caso estático):
Ahora, cuando se usa la forma integral, normalmente se usan las simetrías de una distribución de carga conocida para deducir las simetrías relacionadas en el campo eléctrico, lo que permite que la magnitud del campo se factorice fuera de la integral. Para hacerlo, generalmente se confía en argumentos intuitivos y heurísticos sobre cómo "debería" comportarse el campo en cuestión. .
Me pregunto cómo se formaliza esta noción en términos matemáticos precisos. En particular, parece que debería haber un enunciado equivalente para la ley de Gauss en forma diferencial, en la línea de " simetrías en inducir simetrías relacionadas en ". ¿Hay alguna forma de enunciar formalmente esta afirmación? En particular:
Me parece que debe existir una forma concisa, elegante y general de afirmar y probar lo anterior, pero parece que no puedo conectar todos los puntos en este momento.
Ver, por ejemplo, en Griffiths, Ejemplo 2.3, p. 72: " Supongamos, digamos, que apunta directamente al este, en el 'ecuador'. Pero la orientación del ecuador es perfectamente arbitraria: nada gira aquí, por lo que no hay un eje natural "norte-sur", cualquier argumento que pretenda demostrar que los puntos al este también podrían usarse para mostrar que apunta al oeste, al norte o en cualquier otra dirección. La única dirección única en una esfera es radial. "
Dejar Sea el operador correspondiente a su ecuación ( en este caso). Dejar ser algún operador correspondiente a la simetría. Puede ser una transformación de rotación o paridad, etc.
Si , decimos la función es simétrico
Si como operadores, entonces decimos que su ecuación es simétrica.
Dejar, . Si es simétrico y es simétrico, entonces podemos mostrar fácilmente . Si podemos tomar una inversa de hemos probado es simétrico
Tomando un inverso de es lo mismo que poder resolver la ecuación de forma única. En su caso particular, podemos resolver la ecuación de manera única si restringimos nuestro espacio de funciones para que tenga algunas condiciones de contorno, por ejemplo, que desaparezca en el infinito.
Así que este es el ejemplo que tenías en mente y esta es una formalización del argumento de que debe ser simétrico.
Ahora bien, si no podemos resolver la ecuación de manera única, entonces puede haber una laguna en el argumento. Un caso particular que tengo en mente es un monopolo magnético que es rotacionalmente simétrico, pero la solución de potencial vectorial tiene una cuerda de Dirac y no lo es. Pero dos soluciones cualesquiera y en este caso están conectados por una transformación de calibre.
G. Smith
octonión