Representaciones tensoriales irreducibles con índices "covariantes"

Como seguimiento de mi pregunta sobre el "más general" S tu ( 2 ) -interacción simétrica de dos partículas de espín 1/2, reflexiono sobre la siguiente pregunta:

Considere un operador que actúa solo en una partícula de espín 1/2 y solo en la parte de espín. En la segunda cuantización, se puede escribir como

∑ α β ψ α † V α β ψ β

Ahora, bajo S tu ( 2 ) , los operadores se transformarán como

ψ α † = ∑ α ′ ψ α ′ † D α α ′
con D ∈ S tu ( 2 ) .

Puedo mover esta transformación al operador y concluir que se transforma como

V α β → ∑ α ′ β ′ D α α ′ V α ′ β ′ D β β ′ †
.

(Podría haber tomado algunas de las dagas e índices al revés, pero el punto importante es que una matriz es el adjunto de la otra).

Ahora bien, si entiendo correctamente, esto me permite concluir que V α β se transforma "reduciblemente como un producto tensorial de dos representaciones de espín 1/2", es decir, como 1 2 ⊗ 1 2 . De ahí concluyo que V debe descomponerse en un componente que se transforma como un giro 0 partícula y un componente que se transforma como un giro 1 partícula.

De hecho, como V es un 2 × 2 matriz, puedo escribirla como una combinación lineal de la matriz unitaria y las matrices de Pauli. El primero se transforma como un escalar, es decir, como un espín. 0 , mientras que los últimos se transforman como vectores. Sin embargo, tengo problemas para relacionar esto con lo que sé sobre la combinación de giros 1 / 2 partículas utilizando coeficientes de Clebsh-Gordan, donde tengo, por ejemplo, para el singlete

| 0 0 ⟩ = 1 2 ( ↑↓ − ↓↑ )

Debido a este problema conceptual, también tengo problemas para generalizar esto al caso de dos partículas de espín 1/2 que interactúan, lo que luego debería conducir a una interacción que se transforma reduciblemente como 1 / 2 ⊗ 1 / 2 ⊗ 1 / 2 ⊗ y da lugar a dos singletes diferentes.

Agradecería si alguien pudiera desenredar mis conceptos erróneos...

EDITAR: Olvidé especificar a qué me refiero con "covariante" en el título: creo que algo importante a tener en cuenta es que los elementos de la matriz V α β no son los 4 elementos de un tensor "cartesiano" de rango 2. Todo el operador V puede ser un elemento de un tensor de mayor rango, o incluso la suma de elementos de tensores de diferente rango. Un ejemplo simple de tal cosa sería un operador "1 + x", que es la suma de un tensor de rango cero (escalar) y el elemento de un tensor cartesiano de rango 1.

Ahora, lo que quiero decir con covariante es que uno de los índices de V α β transforma con matriz D y el otro con matriz D † .

También es importante que los componentes del operador se transformen con el real S tu ( 2 ) -matrices y no con alguna matriz de rotación R ∈ S O ( 3 ) . Supongo que es por eso que tengo problemas para traducir la literatura estándar sobre operadores tensoriales a mi situación...

Tienes razón sobre lo de Pauli/trace. Esto se explica (quizás con demasiada generalidad, ya que se trata principalmente de representaciones grandes) en mi respuesta a esta pregunta: physics.stackexchange.com/questions/10403/… .

Respuestas (1)

El problema que creo que tienes (aunque no está del todo claro por lo que escribes) es que

  • hay que distinguir entre representaciones y sus complejas representaciones conjugadas
  • específico a S tu ( 2 ) , las representaciones son isomorfas a sus representaciones conjugadas complejas
  • el isomorfismo que conecta el 1 2 representaciones y su complejo conjugado es la multiplicación por ε α β , la matriz bidimensional completamente antisimétrica.

tu espinor ψ β se transforma en el 1 2 representación. Y ψ β † se transforma en la representación conjugada compleja 1 2 ∗ . Si miras tu fórmula para la transformación de ψ y ψ † Ellos no son los mismos. Sin embargo, si nos fijamos en las propiedades de transformación de ψ α t ε α β verás que esto se transforma exactamente igual que ψ † porque ε σ t ε = σ para todas las matrices de Pauli σ . El operador que descompuso (correctamente) se transforma como ψ † ⊗ ψ , que tiene una parte singlete ψ α † d α β ψ β . Sin embargo, el sistema de dos estados que le enseñaron originalmente, la composición de Clebsch-Gordon se transforma como ψ † ⊗ ψ † , (ya que lo obtienes al crear dos 1 2 partículas). Para que se vea igual insertamos una copia del ε matriz (usando ϵ 2 = − 1 . Así que la parte singlete de ψ † ⊗ ψ † es ψ α † ϵ α β ψ β † , que es lo que escribiste en notación ket en tu respuesta. La parte del triplete es ψ † ε σ ψ † que podría verificar es lo mismo que sabe de QM.

Para lidiar con dimensiones superiores solo tienes que usar un ε para cada índice que desee cambiar al complejo conjugado. Solo para reiterar, esta es una idiosincrasia de S tu ( 2 ) , para S tu ( 3 ) y superior hay que distinguir entre las representaciones y su complejo conjugado. La gente tiene una anotación cuidadosa para estas cosas, que se presenta claramente en Srednicki IIRC, y creo que Ron tiene una respuesta que lo explica en alguna parte.

Por cierto, en muchos lugares verás que la gente usa i σ y en cambio ε ya que tienen los mismos componentes en la convención habitual. Esto es un poco confuso ya que hace que parezca que hay algo especial en el y dirección que por supuesto no es cierta. Es solo una coincidencia de notación, y recomendaría evitar usarlo (especialmente porque estrictamente hablando como mapas lineales ε y σ y ni siquiera operen en los mismos espacios).

Espero que ayude.

Publiqué esto como publicaste tu edición. No está muy claro lo que está tratando de decir, pero espero que esta respuesta aún lo cubra.
Todavía no he digerido completamente tu respuesta, pero siento que es exactamente lo que estaba buscando. Lo que llamé torpemente índice "covariante" realmente se relaciona con lo que dices sobre 1 / 2 y 1 ∗ / 2 .
Una última pregunta... trato de ver cómo ϵ α β ψ β † se transforma igual que ψ , pero aparece un signo menos allí, básicamente al insertar ϵ dos veces. ¿Es eso un error o eso no afecta el resultado final? ¿La esencia es solo eso para cada matriz? D ∈ S tu ( 2 ) , lo sabemos − D también está en S tu ( 2 ) ? (Lo cual tiene sentido como ( − D ) ( − D ) † = D D † = 1 y det ( − D ) = det ( D ) = 1 para matrices de dimensión par).
Ah, se me olvidaba que por supuesto la matrix D no es solo una matriz de Pauli, sino que en realidad se puede parametrizar como porque ⁡ ϕ / 2 + i norte → ⋅ σ → pecado ⁡ ϕ / 2 y si luego hago la magia con el ϵ matriz que obtengo ϵ D ∗ ϵ = − D , que cancela la − 1 de insertar ϵ 2 . Muchas gracias, tu respuesta fue de gran ayuda.
Representaciones tensoriales irreducibles con índices "covariantes"
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v