¿La representación 1+31+3\bf{1+3} de SU(2)SU(2)SU(2) también representa SU(2)×SU(2)SU(2)×SU(2)SU( 2)\veces SU(2)?

Su texto de teoría de grupos probablemente lo traicionó si no dedicó mucho tiempo a contrastar los dos casos. Una pregunta posiblemente relacionada es 254461 . La gente usa lenguaje suelto y símbolos que agravan la confusión. ¡Hablar de manera abstracta sin fórmulas prácticas explícitas lo resuelve (la confusión)!

Permítanme ceñirme a sus matrices y vectores de 4 dimensiones, todos los productos tensoriales de matrices de 2x2 y 2 vectores en ambos casos.

• Un grupo tensor-producto (producto cartesiano) como$SU(2)\times SU(2)$tiene elementos de grupo del tipo$\exp (i\theta^a \sigma_a) \times \exp (i\phi^b \tau_b)$, donde estoy usando σ s y τ s para las matrices de Pauli que actúan en los espacios izquierdo y derecho, respectivamente --- son manzanas y naranjas, piense en ellas como rotaciones de espín y rotaciones de isospín. Están uno al lado del otro. Es importante destacar que sus ángulos de rotación son diferentes y absolutamente no relacionados, θ para rotaciones de espacio/espín y φ para rotaciones de isospín. Puede combinarlos en un espacio de 4 dim sobre el que actúan matrices de 4 × 4, sin absolutamente ningún significado. Fundamentalmente, eligió una de las muchas posibilidades para su grupo. El grupo isospin podría haber sido reemplazado por un grupo de sabor diferente, digamos SU (3), entonces, entonces$SU(2)\times SU(3)$y tendría Gell-Mann λ s en lugar de τ s y su φ s ahora sería 8.

• Esto es muy diferente de un producto de Kronecker de dos representaciones de SU (2), por lo que el mismo grupo, aquí elegido para ser de dos representaciones de doblete: sumando dos spin 1/2 s. El elemento del grupo puede estar actuando en dos espacios diferentes, izquierdo y derecho, pero con los mismos ángulos , como la natación sincronizada,$~~~\exp (i\theta^a \sigma_a) \otimes \exp (i\theta^a \tau_a)$. Podrías haber elegido espacios de diferentes tamaños para la izquierda y la derecha, pero los generadores en el exponente siempre deben ser matrices de representación del mismo SU(2) en la representación de tu elección, con el mismo ángulo. Para ver esto, considere el coproducto en matemático, a saber

  $$\Delta(J^a) = \sigma^a \otimes 1\!\!1 +1\!\!1\otimes \tau^a .$$ Es fácil ver que este coproducto obedece a la misma álgebra de Lia que la representación , izquierda o derecha, aquí elegidas para ser ambas matrices de Pauli, "accidentalmente", por usted. Por lo que entonces$\Delta(J^a)$es una buena representación de SU(2). Saturarlo con tres ángulos y exponenciarlo para obtener el elemento de grupo, $$\exp (i \theta^a \Delta(J^a) )= \exp (i \theta^a( \sigma^a \otimes 1\!\!1 +1\!\!1\otimes \tau^a))= \exp (i \theta^a \sigma^a)\otimes \exp (i \theta^a \tau^a),$$ donde los términos izquierdo y derecho en el exponente se conmutan entre sí, y así los factores exponenciales a dos exponenciales que actúan en los espacios izquierdo y derecho, respectivamente, en tándem . Ahora resulta que la repetición de 4 dim de la$\Delta(J^a)$s es reducible. Es decir, si la escribiéramos como una matriz de 4×4, sería reducible: es decir, una adecuada transformación de semejanza (Clebsch-Gordan) la transformaría en una matriz de bloques; aquí, un poco tonto, ya que tendría un bloque de 3 × 3 y un bloque de 1 × 1 con cero entradas, ya que las matrices de giro para el representante de singlete son 0. El bloque de 3 × 3 sería solo las matrices de espín uno,$j^a$. La acción del grupo en este espacio 3+1 reorganizado sería$~~\exp(i\theta^a j^a)\oplus 1$, ya que exp( i θ 0)=1, muy excepcionalmente. Esto sucedería, por supuesto, para todos los productos de Kronecker de cualquier representante , no solo para las matrices de Pauli del ejemplo elegido. Así que aquí tiene sentido reorganizar el espacio del producto tensorial, ya que facilita la reducción de las repeticiones.

• Para llevar: mire los ángulos --- los parámetros de transformación: cuando está combinando grupos, cada grupo tendrá diferentes, incluso si los dos grupos coinciden. Ahora estás listo para enfrentarte a los representantes del grupo Lorentz: ¡diferentes grupos, muchos ángulos! Si, en cambio, estás combinando repeticiones, los ángulos son los mismos, tantos como la dimensionalidad del grupo/álgebra de Lie, pero nunca más.

Supongo que lo que te falta es lo siguiente:

dada una representación$\rho(g)$de$g\in$SU(2) actuando sobre algún espacio vectorial$V$. Definimos la representación$\rho_\otimes$de SU(2) ( no de SU(2)$\times$SU(2) ) en$V\otimes V$como