¿Por qué un campo escalar de Lorentz se transforma como U−1(Λ)ϕ(x)U(Λ)=ϕ(Λ−1x)U−1(Λ)ϕ(x)U(Λ)=ϕ(Λ−1x) U^{-1}(\Lambda)\phi(x)U(\Lambda) = \phi(\Lambda^{-1}x)?

Question

¿Por qué un campo escalar de Lorentz se transforma como U−1(Λ)ϕ(x)U(Λ)=ϕ(Λ−1x)U−1(Λ)ϕ(x)U(Λ)=ϕ(Λ−1x) U^{-1}(\Lambda)\phi(x)U(\Lambda) = \phi(\Lambda^{-1}x)?

Física_matemáticas

Este problema es de la página 19 de Srednicki. ¿Por qué? $U^{-1}(\Lambda)\phi(x)U(\Lambda) = \phi(\Lambda^{-1}x)$ ?

¿Alguien puede derivar esto?

$\phi$ es un escalar y $\Lambda$ Transformación de Lorentz.

joshfísica

Sugerencia de cambio de título para futuras búsquedas: "¿Por qué un campo escalar de Lorentz se transforma como

U (Λ)^{- 1} ϕ (x) U (Λ) = ϕ (Λ^{- 1} x)

$U(\Lambda)^{-1}\phi(x)U(\Lambda) = \phi(\Lambda^{-1}x)$ ?"

Física_matemáticas

Sí, esta publicación fue apresurada, pero culpe a la chimenea. Gracias por sus respuestas, las revisaré detenidamente cuando baje la fiebre. Salud

Respuestas (2)

¿Por qué un campo escalar de Lorentz se transforma como U−1(Λ)ϕ(x)U(Λ)=ϕ(Λ−1x)U−1(Λ)ϕ(x)U(Λ)=ϕ(Λ−1x) U^{-1}(\Lambda)\phi(x)U(\Lambda) = \phi(\Lambda^{-1}x)?

Sugerencia de cambio de título para futuras búsquedas: "¿Por qué un campo escalar de Lorentz se transforma como $U(\Lambda)^{-1}\phi(x)U(\Lambda) = \phi(\Lambda^{-1}x)$ ?"
Sí, esta publicación fue apresurada, pero culpe a la chimenea. Gracias por sus respuestas, las revisaré detenidamente cuando baje la fiebre. Salud

joshfísica · Answer 1

Esa ecuación es, de hecho, la definición de un escalar de Lorentz, pero quizás unas pocas palabras lo convencerán de que es una definición bien motivada .

Una analogía inicial útil.

Olvídese de la teoría relativista del campo por un momento. Consideremos, en cambio, a alguien que quiere medir la temperatura en todas partes de una habitación. La temperatura se puede representar mediante un campo escalar, es decir, una función $T:\mathrm{room}\to \mathbb R$ dónde $\mathrm{room}$ es un subconjunto del espacio euclidiano tridimensional $\mathbb R^3$ . Ahora, suponga que alguien toma la distribución de temperatura y la rota en una rotación $R\in\mathrm{SO}(3)$ , haciendo un dibujo, debería poder convencerse de que la nueva distribución de temperatura $T_R$ que él mediría estaría relacionado con la antigua distribución de temperatura de la siguiente manera:

\begin{aligned} T_{R} (R X) = T (X), \end{aligned}

$\begin{align} T_R(R\mathbf x) = T(\mathbf x), \end{align}$ En otras palabras, el valor de la distribución de temperatura transformada (girada) en el punto transformado es el mismo que el valor de la distribución de temperatura no transformada en el punto no transformado.

Teoría clásica de campos.

Ahora, vayamos a la teoría relativista clásica de campos. Considere algún campo escalar en el espacio de Minkowski de cuatro dimensiones $\phi:\mathbb R^{1,3}\to \mathbb R$ . Por analogía con la distribución de temperatura, definimos un campo transformado de Lorentz $\phi_\Lambda$ (a menudo denota $\phi'$ en física) por

\begin{aligned} ϕ_{Λ} (Λ X) = ϕ (X) . \end{aligned}

$\begin{align} \phi_\Lambda(\Lambda x) = \phi(x). \end{align}$ para todos

x \in R^{3, 1}

$x\in \mathbb R^{3,1}$ y para todos

Λ \in S O (1, 3)^{+}

$\Lambda\in\mathrm{SO}(1,3)^+$ . Tenga en cuenta que esto se puede reescribir de la siguiente manera:

\begin{aligned} (⋆) & ϕ_{Λ} (X) = ϕ (Λ^{- 1} X) . \end{aligned}

$\begin{align} \phi_\Lambda(x) = \phi(\Lambda^{-1} x). \tag{$\star$} \end{align}$ El campo transformado evaluado en un punto del espacio-tiempo

x

$x$ concuerda con el campo no transformado en el punto del espacio-tiempo

Λ^{- 1} x

$\Lambda^{-1} x$ .

QFT.

Pero ahora, consideremos QFT. En este caso, $\phi$ asigne un operador (bueno, realmente una distribución de operadores) a cada punto del espacio-tiempo. Ahora en QFT relativista, existe una representación unitaria $U:\mathrm{SO}(3,1)^+\to U(\mathcal H)$ del grupo de Lorentz actuando sobre el espacio de Hilbert $\mathcal H$ de la teoría que transforma los estados $|\psi\rangle\in \mathcal H$ como sigue:

\begin{aligned} | ψ ⟩ \to tu (Λ) | ψ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |\psi\rangle \to U(\Lambda)|\psi\rangle \end{align}$ Ahora supongamos que

A : H \to H

$A:\mathcal H\to\mathcal H$ es un operador lineal, ¿hay alguna forma natural en que dicho operador se transforme bajo

U (H)

$U(\mathcal H)$ ? Sí lo hay, recuerda que cuando hacemos un cambio de base en un espacio vectorial, esto induce un cambio en las representaciones matriciales de los operadores por transformación de semejanza. Si pensamos en la transformación de Lorentz como un cambio de base, entonces es natural definir un operador transformado por

\begin{aligned} A_{Λ} = tu (Λ)^{- 1} A tu (Λ) . \end{aligned}

$\begin{align} A_\Lambda = U(\Lambda)^{-1} A U(\Lambda). \end{align}$ Si aplicamos esto al operador

ϕ (x)

$\phi(x)$ en un punto del espacio-tiempo dado

x

$x$ , entonces nosotros tenemos

\begin{aligned} (⋆ ⋆) & ϕ (X)_{Λ} = tu (Λ)^{- 1} ϕ (X) tu (Λ) \end{aligned}

$\begin{align} \phi(x)_\Lambda = U(\Lambda)^{-1} \phi(x) U(\Lambda) \tag{$\star\star$} \end{align}$ La ley de transformación utilizada en QFT sigue exigiendo que

(⋆ ⋆)

$(\star\star)$ que se deriva de la noción de transformar un operador lineal en

H

$\mathcal H$ está de acuerdo con la noción

(⋆)

$(\star)$ de transformar un campo en la teoría clásica de campos. Explícitamente, en esta notación si exigimos que

\begin{aligned} ϕ (X)_{Λ} = ϕ_{Λ} (X), \end{aligned}

$\begin{align} \phi(x)_\Lambda = \phi_\Lambda(x), \end{align}$ luego obtenemos la definición deseada de un campo escalar de Lorentz;

\begin{aligned} tu (Λ)^{- 1} ϕ (X) tu (Λ) = ϕ (Λ^{- 1} X) . \end{aligned}

$\begin{align} U(\Lambda)^{-1} \phi(x) U(\Lambda) = \phi(\Lambda^{-1}x). \end{align}$

Nota.

La noción de campos escalares, vectoriales y tensoriales utilizada en QFT puede recordarle las nociones de operadores escalares, vectoriales y tensoriales utilizadas en la mecánica cuántica no relativista de, por ejemplo, partículas con momento angular. Esto no es un accidente; son conceptos estrechamente relacionados.

La complicación adicional que tenemos en QFT es que los campos son funciones del espacio-tiempo con valores de operador, no solo operadores, por lo que tenemos que decidir qué hacer con el argumento del espacio-tiempo del campo cuando transformamos. Tratamos esta complicación anteriormente combinando esencialmente la noción de operador tensorial en la mecánica cuántica, con la noción de transformación de campo en la teoría clásica de campo.

Para obtener más comentarios matemáticos sobre operadores tensoriales en espacios de Hilbert, consulte

Operadores tensoriales

Me gustan tus habilidades pedagógicas. ¡Impresionante! (Imposible entender mi inglés en este momento)
@LoveLearning ¡Gracias, muy apreciado! Me alegro de que haya ayudado.
Me encanta tu respuesta! ¡Solo quería señalar que para algo tan simple como la temperatura (bueno, no es tan simple cuando lo investigas) no hay consenso sobre cómo se transforma de hecho!: Ejemplo: physics.stackexchange.com/questions/83488/…
@R.Rankin Gracias, y eso es interesante. Sin embargo, me parece que la falta de consenso en la publicación que vinculaste se refiere a los aumentos de Lorentz. Me sorprendería si hay una falta de consenso para las rotaciones espaciales, que es a lo que me referí en la analogía.
no hay, por supuesto (: he estado tratando de pensar en los impulsos como solo una rotación espacio-temporal (aunque hiperbólica). Gracias nuevamente por la gran respuesta, lo disfruté.
@joshphysics en la parte QFT: ¿No deberían cambiarse los operadores unitarios de los estados o los operadores a su inverso?

Vladímir Kalitvianski · Answer 2

Es una definición de un campo escalar. Miras el mismo campo desde otro marco de referencia y solo lo ves con un argumento "desplazado". Para probarlo, lo expandes formalmente en poderes de $x$ , Supongo.

Estoy de acuerdo en que es una definición, entonces, ¿por qué afirmar simultáneamente que se puede probar? Es una definición bien motivada, pero la motivación y la prueba son diferentes.
Así lo motiva PS... pero ¿para qué motivar si se puede derivar? ¿Se puede derivar? Srednicki no lo define, dice que deberíamos esperar...
Se puede decir que en un campo escalar no hay nada que transformar excepto el argumento. La prueba muestra que se transforma como se esperaba, no de manera diferente.

¿Por qué un campo escalar de Lorentz se transforma como U−1(Λ)ϕ(x)U(Λ)=ϕ(Λ−1x)U−1(Λ)ϕ(x)U(Λ)=ϕ(Λ−1x) U^{-1}(\Lambda)\phi(x)U(\Lambda) = \phi(\Lambda^{-1}x)?

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