¿Por qué se piensa que las partículas son representaciones irreducibles, en un lenguaje sencillo?

Como probablemente sepa, el grupo de Lie de transformaciones físicas de un sistema cuántico actúa sobre el espacio de estados de Hilbert del sistema por medio de una representación unitaria (proyectiva fuertemente continua) del grupo.$G \ni g \mapsto U_g$. Esta acción es efectiva también sobre los observables del sistema, representados por operadores autoadjuntos: La acción de$g$en los observables$A$es$U_gAU^*_g$. Este último representa lo observable.$A$después de la acción de la transformación$g$sobre el sistema físico. Esta transformación tiene una doble interpretación. Podemos imaginar que actúa sobre el sistema o sobre el marco de referencia, nuestra elección no importa en esta discusión.

Ahora centrémonos en la física. Existen sistemas elementales naturales, llamados partículas elementales . Estos sistemas se determinan completamente fijando unos números reales correspondientes a los valores de algunos observables. Dentro de la versión más elemental de la historia, estos números son la masa$m$que puede alcanzar algunos números positivos observados experimentalmente y registrados, y el giro$s$que puede alcanzar cualquier número en$\{1/2, 1, 3/2,...\}$. Diferentes valores del par.$(m,s)$significan diferentes partículas.

Estos números tienen la propiedad de que son invariantes bajo la acción del grupo de simetría más general , me refiero al grupo (ortocrónico propio) de Poincaré . Un tipo de partícula tiene los mismos números fijos$m$y$s$independientemente del marco de referencia que usemos para describirlo y los diversos marcos de referencia están conectados por la transformación del grupo de Poincaré.

Pasando a la descripción cuántica teórica de una partícula elemental, en vista de mi observación inicial, nos comprometemos a suponer que su espacio de Hilbert soporta una representación del grupo de Poincaré${\cal P} \ni g \mapsto U_g$(Omito detalles técnicos). Además debe haber observables que representen la masa$M$y el giro$S$que, por un lado, deben ser invariantes bajo la acción del grupo, es decir,$U_gM U_g^* =M$y$U_gS U_g^* =S$para cada$g \in \cal P$. Por otro lado deben asumir valores fijos$M=mI$y$S=sI$.

Wigner notó que una condición suficiente para asegurar la validez de estas restricciones es que${\cal P} \ni g \mapsto U_g$es irreductible .

Por cierto,$M$y$S$se puede definir utilizando los generadores autoadjuntos de la representación, ya que son elementos del álgebra envolvente universal de la representación del álgebra de Lie de$\cal P$inducido por uno de$\cal P$sí mismo. Como era de esperar, uno encuentra$U_gM U_g^* =M$y$U_gS U_g^* =S$para cada$g \in \cal P$. Pero si$U$también es irreducible, reescribiendo las identidades anteriores como$U_gM =M U_g$y$U_gS =S U_g$para cada$g \in \cal P$, el lema de Schur implica que$M=mI$y$S=sI$para algunos numeros reales$s,m$.

Para corroborar la idea de Wigner resulta que las dos constantes$m$y$s$son realmente suficientes para clasificar biyectivamente todas las posibles representaciones irreductibles unitarias fuertemente continuas de$\cal P$con "energía positiva" (la única relevante en física) .

La teoría matemática de las representaciones de${\cal P}$fija de forma autónoma los posibles valores de$s$y simplemente coinciden con los observados. los valores de$m$no están fijados por la teoría de las representaciones donde cualquier valor$m\geq 0$sería posible en principio, aunque no todos$m \geq 0$corresponden a las masas de las partículas elementales observadas.

Si tiene muchas partículas elementales, el espacio de Hilbert del sistema es el producto tensorial de los espacios de Hilbert de las partículas elementales y existe una representación unitaria correspondiente del grupo de Poincaré dada por el producto tensorial de las representaciones irreducibles individuales. Obviamente, la representación global no es irreductible.

ANEXO . Me gustaría especificar que las representaciones irreductibles del grupo de Poincaré que discutí anteriormente son las fieles cuya masa cuadrada es no negativa. Además, existe otro parámetro que clasifica las representaciones irreductibles del grupo de Poincaré. Es un signo correspondiente al signo de la energía. Finalmente, no todas las partículas encajan en la imagen de Wigner.