En la mecánica cuántica relativista (especial) hay un argumento estándar que dice que el espacio de estados de Hilbert (amañado) debe estar dotado de una representación unitaria proyectiva del grupo Poincaré que va algo como esto:
Supongamos que tenemos dos observadores. y y es la transformación de Poincaré que mapea sistema de coordenadas s en sistema de coordenadas s. Entonces sí y intentan medir lo mismo, realmente encontrarán diferentes estados, y respectivamente, en (por ejemplo, si primero encuentra el vector , gire sus ejes por y mida el mismo vector, los números que ahora registre serán ). De hecho, esto nos da un mapa de estados: (solo va a estar bien definido hasta la fase). Llamemos a este mapa , de modo que .
Sin embargo, si aceptamos el principio de relatividad de que la física debe ser la misma en dos marcos de referencia relacionados por una transformación de Poincaré, entonces mejor tenemos que
El teorema de Wigner nos dice que esto da una representación unitaria proyectiva de en . (Nota: estoy permitiendo algunos elementos de ser representados por antiunitarios.)
Ahora, si intenta hacer el mismo argumento en el espacio-tiempo curvo, se encuentra con el problema obvio de que, en general, no tendrá un análogo del grupo de Poincaré (creo que existen espacios-tiempos que no poseen campos de muerte); sin embargo, parece ingenuamente como si el principio de covarianza general sugiriera que deberíamos 'actualizar' el grupo de isometría del espacio-tiempo a todo el grupo de difeomorfismo del espacio-tiempo en el argumento anterior. (En particular, no veo cómo este argumento hace un uso crucial del hecho de que ambas bases de coordenadas observadas son ortonormales). Eso entonces implicaría que el espacio de estados de Hilbert en una teoría cuántica del espacio-tiempo curvo debería poseer un proyectivo representación unitaria del grupo de difeomorfismos de ese espacio-tiempo. Esto, sin embargo, a primera vista, parece que sería falso.
Entonces, ¿dónde se desmorona el argumento si reemplazas el grupo de Poincaré en la relatividad especial con el grupo de difeomorfismo en la relatividad general? O, de hecho, deberíamos obtener una representación unitaria de todo el grupo de difeomorfismos.
No, no desea representaciones del grupo de difeomorfismo por la misma razón que no desea representaciones del grupo de Lie calibrado en Yang-Mills. Los difeomorfismos son una simetría de calibre, no una simetría real de la teoría. Las transformaciones de calibre actúan trivialmente sobre los estados físicos, asignan una descripción redundante de un estado a otro. Son descripciones redundantes de los grados físicos de libertad, mientras que una simetría real de la teoría asigna estados físicos a otros estados físicos.
En el caso de Yang-Mills no abeliano, busca estados en representaciones del grupo SU(N) global. Tales transformaciones no son transformaciones de calibre porque el parámetro de calibre no tiende a cero en el infinito como deben hacerlo las transformaciones de calibre. Estas transformaciones globales asignan un estado físico a un estado físico diferente. La historia es similar en la mayoría de los casos gravitatorios entendidos. Los difeomorfismos son transformaciones de calibre, pero hay un grupo de simetría asintótica (esencialmente grandes transformaciones de calibre) que son la simetría real de la teoría.
Por ejemplo, en el caso de espaciotiempos asintóticamente planos, pones algunas condiciones de contorno en la métrica en el infinito. A continuación, considere los difeomorfismos que dejan fijas estas condiciones de contorno. Luego, básicamente, se modifica mediante transformaciones triviales que no tocan la métrica en el infinito y se obtiene el grupo BMS. El grupo BMS es esencialmente un producto semidirecto de con un grupo dimensional infinito de "supertraducciones", 4 de las cuales pueden identificarse con las 4 traducciones globales. Estas transformaciones dejan fijas las asintóticas de la métrica, pero actúan de manera no trivial sobre los datos de frontera y, por lo tanto, sobre los estados del sistema. Entonces ves que en realidad encontramos un grupo de simetría aún más grande en un espacio-tiempo no plano.
Se pueden aplicar procedimientos similares a otros espaciotiempos. No necesita que el espaciotiempo tenga vectores asesinos (un espaciotiempo genérico no tiene ninguno), solo necesita que el espaciotiempo tenga alguna forma asintótica específica y luego puede encontrar un grupo cuyas representaciones controlen el espacio de Hilbert.
La diferencia es que la invariancia de Poincaré es una simetría global, por lo que actúa de manera no trivial sobre los estados físicos. Esto tiene consecuencias físicas reales; por ejemplo, si actúa con un operador de traducción sobre el estado de una partícula localizada en el origen, obtiene el estado de una partícula localizada en alguna posición distinta del origen. La invariancia de Poincaré te dice que estas dos partículas tienen la misma energía.
La invariancia del difeomorfismo, por otro lado, es una simetría de calibre local en la relatividad general. Esto significa que actúa trivialmente en estados invariantes de calibre físico y no puede tener consecuencias reales. Es una redundancia en la descripción. Por supuesto, podemos obtener una descripción diferente de la misma física actuando con una transformación de calibre (es decir, yendo a un marco de observadores diferente), pero esto no es tan poderoso como una simetría global, que organiza el espacio de Hilbert en irreps.
Como mencionó anteriormente, esto no significa que no haya un análogo de la simetría de Poincaré para fondos curvos. Por ejemplo, el grupo de isometría global de AdS es el grupo de transformaciones conformes globales en una dimensión menos. Esto organiza la física de AdS en irreps del grupo conforme.
Por cierto, es posible que se pregunte qué sucede si intenta generar una teoría con invariancia local de Lorentz. La respuesta es que obtienes la relatividad general.
Valter Moretti