Representación matricial de una rotación con una base no canónica

La clave aquí es que las columnas de la matriz de una transformación son las imágenes de los vectores base, expresados ​​en la base de "salida". Si llamamos a la$(\mathbf a_1,\mathbf a_2)$base$\mathcal B$, esto significa que las columnas de la matriz$[T]_{\mathcal B}^{\mathcal B}$de la rotación son los$\mathcal B$-coordenadas de$T\mathbf a_1$y$T\mathbf a_2$. Eso es,

$$[T]_{\mathcal B}^{\mathcal B}=\begin{bmatrix} [T\mathbf a_1]_{\mathcal B} & [T\mathbf a_2]_{\mathcal B} \end{bmatrix}.$$ Por definición, estas coordenadas son los coeficientes de las combinaciones lineales de $\mathbf a_1$y $\mathbf a_2$que producen $T\mathbf a_1$y $T\mathbf a_2$. Usando su notación, entonces, $$[T]_{\mathcal B}^{\mathcal B}=\begin{bmatrix}\alpha&\gamma \\ \beta&\delta \end{bmatrix}$$ donde los elementos de la matriz son las soluciones del sistema de ecuaciones $$\begin{align} \alpha+\beta &= c \\ \beta &= s \\ \gamma+\delta &= c-s \\ \delta &= c+s \end{align}$$ que configuraste.

Puede verificar que obtuvo la respuesta correcta calculando esta matriz utilizando la fórmula habitual de cambio de base. Llamando a la base estándar$\mathcal E$,

$$\begin{align} [T]_{\mathcal B}^{\mathcal B} &= [id]_{\mathcal B}^{\mathcal E} \, [T]_{\mathcal E}^{\mathcal E} \, [id]_{\mathcal E}^{\mathcal B} \\ &= ([id]_{\mathcal E}^{\mathcal B})^{-1} \, [T]_{\mathcal E}^{\mathcal E} \, [id]_{\mathcal E}^{\mathcal B} \\ &= \begin{bmatrix}[\mathbf a_1]_{\mathcal E}&[\mathbf a_2]_{\mathcal E} \end{bmatrix}^{-1}\,R\,\begin{bmatrix}[\mathbf a_1]_{\mathcal E}&[\mathbf a_2]_{\mathcal E} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c&-s\\s&c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}c-s&-2s\\s&c+s\end{bmatrix}. \end{align}$$ Estas multiplicaciones e inversiones de matrices son solo una forma diferente de resolver el sistema de ecuaciones lineales para las coordenadas de $T\mathbf a_1$y $T\mathbf a_2$.

Considere estas dos ecuaciones de la pregunta:

$$\begin{align} \begin{bmatrix} c \\ s \end{bmatrix} &= \alpha \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \tag1\\ \begin{bmatrix} c-s \\ c+s \end{bmatrix} &= \gamma \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \delta \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}. \tag2 \end{align}$$

Este es fundamentalmente un sistema lineal de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Y ciertamente puedes resolverlo de la forma en que lo hiciste.

Otra forma de escribir ecuaciones$(1)$y$(2)$juntos es

$$\begin{bmatrix} c & c-s \\ s & c+s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{bmatrix}.$$ Resulta que $$\begin{bmatrix} c & c-s \\ s & c+s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \tag3$$ para cualquier número real $x,y.$

Observe que la matriz del lado izquierdo de la ecuación es la matriz que transforma las coordenadas de un vector relativas a la base$\mathbf a_1, \mathbf a_2$en las coordenadas del vector rotado relativo a la base$\mathbf e_1, \mathbf e_2$. Es decir, si tenemos un vector$\mathbf v = x \mathbf a_1 + y \mathbf a_2,$y la rotación de este vector produce$\mathbf v',$entonces las coordenadas de$\mathbf v'$en la base estándar están dadas por

$$\begin{bmatrix} c & c-s \\ s & c+s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.$$

La matriz$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},$por otro lado, transforma las coordenadas de un vector relativas a la base$\mathbf a_1, \mathbf a_2$en las coordenadas del mismo vector relativo a la base$\mathbf e_1, \mathbf e_2$, sin girarlo. Así que si$\mathbf v' = x' \mathbf a_1 + y' \mathbf a_2,$entonces

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}.$$ da las coordenadas de $\mathbf v'$en la base canónica. Eso es, $$\begin{bmatrix} c & c-s \\ s & c+s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}. \tag4$$

Pero la matriz$T$para la rotación con respecto a la base$\mathbf a_1, \mathbf a_2$es simplemente la matriz por la que multiplicamos cualquier$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$para obtener el correspondiente$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}.$Eso es,

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = T \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.$$ Haciendo esta sustitución en la ecuación $(4),$obtenemos $$\begin{bmatrix} c & c-s \\ s & c+s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} T \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}. \tag5$$

Ahora compare la ecuación$(5)$con ecuación$(3).$Una ecuación tiene la matriz$\begin{bmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{bmatrix}$donde el otro tiene$T$; de lo contrario, las ecuaciones son idénticas. y ecuación$(3)$hace exactamente el trabajo que queremos Ecuación$(5)$hacer. Entonces parece plausible que la matriz$\begin{bmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{bmatrix}$es una representación adecuada de$T.$

Para probar realmente que$T = \begin{bmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{bmatrix},$podrías multiplicar ambos lados de la ecuación$(3)$y$(5)$a la izquierda por la matriz$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$Esto transformaría las coordenadas en el lado izquierdo de cualquier ecuación nuevamente en coordenadas con respecto a la base$\mathbf a_1, \mathbf a_2,$mientras transforma el lado derecho de$(3)$a$\begin{bmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.$Dijiste que no querías usar matrices inversas; ¿Eso se aplica al método de encontrar la rotación, o al método y la prueba del método? Podría haber una manera de hacer la prueba sin invocar la existencia de la inversa de$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},$pero no lo he probado.

tienes que expresar$Ta_1$bajo la forma$\alpha a_1+\beta a_2$y para expresar$Ta_2$como$\gamma a_1+\delta a_2$. Entonces, la matriz de$T$con respecto a$\{a_1,a_2\}$es$\left(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{smallmatrix}\right)$.

Hay otra manera de hacer esto. Dejar

$$B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},$$ que es la matriz de cambio de base de $\{a_1,a_2\}$a $\{e_1,e_2\}$. Entonces la matriz que buscas es $$B^{-1}.\begin{pmatrix}c&-s\\s&c\end{pmatrix}.B=\begin{pmatrix}c-s&-2s\\s&c+s\end{pmatrix},$$ que es (como era de esperar) la misma matriz que obtuviste.