¿Los vectores complejos permanecen en un plano cuando se giran?

Gracias por leer.

Estoy tratando de comprender mejor cómo funcionan las matrices de rotación en vectores de valores complejos.

Digamos que tenemos la matriz de rotación:

$R_\theta =\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \ -sin(\theta) \\ \sin(\theta)& \cos(\theta) \end{bmatrix}$

Esto gira un vector de valor real en el plano cartesiano por$\theta$grados

Entonces, si tenemos un vector$\vec{v}$, y calculamos$R_\theta \vec{v}$, la salida es$\vec{v}$pero girado por$\theta$grados en sentido antihorario.

Sin embargo, ahora di$\vec{v}$se permite tener componentes complejos.

Si$\vec{v}$es en$\mathbb{C}^2$, entonces podemos imaginarlo como realmente existente en$4D$espacio, donde hay un verdadero$X$dirección, un verdadero$Y$dirección, un imaginario$X$dirección y un imaginario$Y$dirección.

Digamos$\vec{v}=\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}$, o algo así. El punto es que sus componentes son solo reales, existe completamente en la realidad.$(X,Y)$avión.

Cuando giramos$\vec{v}$por cualquier cantidad, permanecerá en el real$(X,Y)$avión. Nunca rotará en ninguna de las dimensiones imaginarias.

Del mismo modo, decir$\vec{v}=\begin{bmatrix} 2i\\ 3i \end{bmatrix}$.

Ahora, una vez más, cuando rotamos$\vec{v}$cualquier cantidad multiplicándola por$R_\theta$a la izquierda, se quedará en el imaginario $(X,Y)$avión. Nunca rotará en ninguna de las dimensiones reales.

Pero, ahora di$\vec{v}=\begin{bmatrix} (1+i)\\ (3) \end{bmatrix}$.

...o algo así. El punto es que es$x$y$y$Los componentes tienen componentes reales e imaginarios.

¿Una rotación (multiplicación por$R_\theta$a la izquierda) todavía mantienen$\vec{v}$en algún plano, con los ejes de ese plano apuntando hacia alguna combinación de las direcciones imaginaria y real?

Si ese es el caso, ¿cómo podríamos encontrar qué avión es?

Lo que he hecho hasta ahora:

Estoy tentado a responder afirmativamente a mi pregunta, y he aquí por qué.

Cuando tenemos un vector

$\vec{v}=\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}$

y lo rotamos$90^0$, terminamos con$\vec{v}=\begin{bmatrix} -b\\ a \end{bmatrix}$

$\vec{v}=\begin{bmatrix} -b\\ a \end{bmatrix}$y$\vec{v}=\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}$

son direcciones ortogonales, que muy claramente se podrían hacer para definir los ejes de algún plano.

Si$a$y$b$ambos eran reales, entonces esto obviamente era el verdadero$(X,Y)$plano, y la rotación por CUALQUIER ángulo habría mantenido el vector en este plano.

Ahora, digamos que tenemos...$\vec{v}=\begin{bmatrix} (2+3i)\\ (1+4i) \end{bmatrix}$.

...o algo similar, donde sus componentes tienen partes tanto imaginarias como reales, y multiplicamos$\vec{v}$por la matriz de rotación que corresponde a rotar por$90^0$:

$\begin{bmatrix} \cos(90) & \ -sin(90) \\ \sin(90)& \cos(90) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (2+3i)\\ (1+4i) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -(1+4i)\\ (2+3i) \end{bmatrix}$

Esas direcciones ortogonales,$\begin{bmatrix} -(1+4i)\\ (2+3i) \end{bmatrix}$y$\begin{bmatrix} (2+3i)\\ (1+4i) \end{bmatrix}$también podría definir algún plano.

Sin embargo, no me queda claro que la rotación en un ángulo menor que$90^0$habría mantenido$\vec{v}$en ese mismo avión...

lo tendria?

¡Gracias!

(Si mi pregunta no está clara, ¡por favor deje un comentario!)