Representación física de volumen a superficie

Para el caso de una esfera, la relación que encontraste es:

$$\frac{V}{S} = \frac{ \frac{4}{3} \pi R^3}{4 \pi R^2} = \frac{R}{3}$$

De hecho, podemos hacer pasar el volumen como la integral del área de la superficie aquí. Eso es pasable cuando revisas el cálculo.

Entonces, un enfoque es preguntar "qué es una función dividida por su derivada". Esto es realmente similar a la relación entre el área y el perímetro de un círculo.

$$\frac{A}{P} = \frac{ \pi R^2}{ 2 \pi R} = \frac{R}{2}$$

Por supuesto, ves el "2" por el valor del exponente, que proviene de que hay dos dimensiones, al igual que la esfera. Así que ahora hemos explicado parte de la respuesta, que es que la dimensión lineal se divide por el número de dimensiones. Esto sigue siendo insatisfactorio porque no tenemos una idea clara de cómo debemos definir esta "longitud característica" particular.

Un intento de resolución de este problema sería probar la idea de un sistema cuadrado-cubo.

$$\frac{V}{S} = \frac{ R^3}{ 6 R^2} = \frac{R}{6}$$

$$\frac{A}{P} = \frac{ R^2}{4 R} = \frac{R}{4}$$

Puede ver que todavía sigue nuestra regla requerida, pero la "longitud característica" ahora es la mitad de la longitud de un lado. Por supuesto, queremos hacer una afirmación general para todas las formas. Esto todavía está confuso por la definición de "longitud característica". Así que evitémoslo haciendo una afirmación sobre la proporción de "adentro" a "afuera" para cualquier clase de formas, moviéndose de una dimensión a otra.

$$\left( \frac{I}{O} \right)_{n+1} = \frac{n}{n+1} \left( \frac{I}{O} \right)_{n}$$

Esto pide la definición de la "longitud característica", que llamaré$l$.

$$l \equiv n \left( \frac{I}{O} \right)_{n}$$

Lamentablemente, no puedo afirmar que haya inventado algo nuevo. Esta es la idea detrás del diámetro hidráulico . La única diferencia es un factor de 2. Un ser 4D con una tubería de sección transversal 3D constante usaría su fórmula para calcular el radio hidráulico. Wikipedia también incluye la misma observación que acabo de hacer:

Para un ducto o tubería completamente lleno cuya sección transversal es un polígono regular, el diámetro hidráulico es equivalente al diámetro de un círculo inscrito dentro del perímetro mojado.

He demostrado que esto también es cierto pensando en un cubo versus una esfera. Entonces, siempre que corrijamos su$3.3 cm$al multiplicar por el número de dimensiones, ha obtenido una especie de radio generalizado. Otras formas, más exóticas, no serán tan sencillas de explicar. Si tuviera una esfera con una superficie irregular y contara el área que tenía que pintar, esto reduciría el radio hidráulico de la forma.

Una forma en que podríamos justificar este concepto es referirnos a la dinámica de fluidos. Se usa el diámetro hidráulico porque empujar el fluido a través de una tubería "llena de baches" es como bombearlo a través de una tubería lisa más pequeña. Entonces, el número es una especie de proxy de la resistencia viscosa. Bueno, eso puede ser un uso.

Consideremos algunos ejemplos simples: una esfera, un cubo y un paralelepípedo rectangular. Denotemos el radio del volumen al área de superficie de un objeto dado por$\ell$, entonces nosotros tenemos

$$\begin{align} \ell(\mathrm{sphere}) &= \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{4\pi R^2} = \frac{1}{3} R = \frac{1}{6}D \\ \ell(\mathrm{cube}) &= \frac{L^3}{6L^2} = \frac{1}{6}L \\ \ell(\mathrm{parallelepiped}) &= \frac{LWH}{2(LW + LH + WH)} \end{align}$$ dónde $R$es el radio de la esfera, $D$es el diámetro de la esfera, $L$es la longitud del lado del cubo, y $L,W,H$son la longitud, el ancho y la altura del paralelepípedo rectangular. Note que en el caso del cubo y la esfera, obtenemos una longitud que nos dice aproximadamente las dimensiones laterales del objeto en cualquier dirección dada, lo que uno podría estar inclinado a llamar la "longitud característica". Por otro lado, considere un paralelepípedo con $W=H=\epsilon$dónde $\epsilon$es pequeño. En este caso podemos ignorar los términos del pedido. $\epsilon^2$relativo al orden $\epsilon$términos y obtenemos $$\ell = \frac{L\epsilon^2}{2(L\epsilon + L\epsilon + \epsilon^2)}\sim \frac{1}{4}\epsilon$$ y vemos que $\ell$se vuelve muy pequeño. Entonces, en este caso, para un paralelepípedo muy largo y angosto, la relación da una buena idea de las dimensiones laterales en dos de las dimensiones, pero no en la tercera. En general, si tiene un objeto que es aproximadamente esféricamente simétrico (y no patológico de ninguna otra manera), entonces la proporción da una buena idea de qué tan grandes son todas las dimensiones del objeto, pero si esta simetría está ausente, entonces el concepto de longitud característica definida por esta relación se rompe un poco.

La representación física depende de la geometría del sistema. En el caso de una esfera, entonces tenemos el resultado simple

$$\frac{V}{A} = \frac{(4\pi/3)R^3}{4\pi R^2} = \frac{R}{3}.$$ Es decir, la relación es un tercio del radio.

Ahora bien, las esferas son especiales porque maximizan esta relación. Por ejemplo, suponga que tiene un cubo de longitud lateral$s$. Entonces

$$\frac{V}{A} = \frac{s^3}{6s^2} = \frac{s}{6}.$$ Por supuesto, para asegurarnos de que estamos comparando manzanas con manzanas, debemos relacionar $s$a $R$de alguna manera significativa, digamos igualando volúmenes. Si $(4\pi/3)R^3 = s^3$, entonces $s = (4\pi/3)^{1/3} R$, por lo que la relación entre el volumen y el área de la superficie de un cubo es $$\frac{V}{A} = \frac{1}{6} \left(\frac{4\pi}{3}\right)^{1/3} R \approx 0.27 R.$$

Muchas cosas en la naturaleza asumen formas esféricas porque esto minimiza la energía potencial asociada con la tensión superficial, sujeto a la restricción de que todas sus "cosas" tienen un volumen fijo.

Por cierto, la relación entre el área de la superficie y la longitud se vuelve manifiestamente importante cuando se estudia la capacitancia en unidades CGS. La capacitancia de una esfera de radio$R$es$A/(4\pi R) = R$(sí, los centímetros son la unidad de capacitancia en CGS), y la capacitancia de un conductor plano-paralelo de área$A$y separación$d$es (sin tener en cuenta los efectos de borde)$A/(4\pi d)$.

Si divide un volumen por un área, obtiene una longitud (como ha encontrado), esta longitud es físicamente solo la longitud de un cilindro, usando el ejemplo XKCD (podría usar cualquier prisma de n lados) donde la cara del círculo tiene una área igual al área de la superficie (de su forma original).

puedes ver esta imagen que lo demuestra:

NOTA: La escala entre la esfera y el cilindro no es correcta, la longitud sería mucho menor que la que se presenta aquí.