representación del grupo conforme en d>2

Considere una teoría conforme de campos$\Phi$definido en el espacio-tiempo de Minkowski$M=\mathbb R^{3,1}$y con espacio objetivo$V$. Dejar$\rho_M$denotan una representación del grupo conforme$G$en$M$y deja$\rho_V$denota una representación de$G$en$V$. Entonces podemos definir una acción$\rho_F$de$G$en los campos$\Phi$como sigue:

$$(\rho_F(g)\Phi)(\rho_M(g)x) = \rho_V(g)\Phi(x)$$ Esta es una versión más descriptiva de la notación de di-Francesco eq. 2.114; $$\Phi'(x') = \mathcal F(\Phi(x))$$ En otras palabras, la acción de $G$on campos tiene dos partes, una parte de espacio-tiempo y una parte de espacio de destino (también conocido como interno). Ahora, supongamos que encontramos que hay otra representación $\rho_D$de $G$actuando sobre campos (mediante operadores diferenciales, por ejemplo) para los cuales $$\Phi(\rho_M(g)x) = \rho_D(g)\Phi(x)$$ Luego observe que la primera ecuación anterior se puede escribir de la siguiente manera: $$(\rho_F(g)\Phi)(x) = \rho_D(g^{-1})\rho_V(g)\Phi(x)$$ ¿Cómo se manifiesta esto en términos de signos y generadores? Bueno, supongamos que para cualquier representación de grupo $\rho$de $G$, tenemos una representación lineal correspondiente $R$de su álgebra de mentira $\mathfrak g$tal que si escribimos un elemento $g\in G$como exponencial de un elemento de álgebra de Lie $X$; $g = e^X$, entonces $$\rho(g) = e^{R(X)}$$ Entonces podemos escribir la transformación de los campos como $$(\rho_F(g)\Phi)(x) = e^{-R_D(X)}e^{R_V(X)}\Phi(x)$$ Para cualquier $X\in\mathfrak g$. Si estas representaciones del álgebra de Lie conmutan (como lo harían si, por ejemplo, $R_D$es una representación a través de operadores diferenciales y $R_V$es alguna representación independiente del espacio-tiempo en el espacio de destino), entonces podemos escribir $$(\rho_F(g)\Phi)(x) = e^{R_V(X)-R_D(X)}\Phi(x)$$ Ahora, supongamos que elegimos una base $X_a$para el álgebra de mentira $\mathfrak g$tal que cada elemento $X\in \mathfrak g$Se puede escribir como $$X = i\omega_aX_a$$ para algunos numeros reales $\omega_a$. Entonces usando la linealidad de las representaciones $R_D, R_V$tenemos $$(\rho_F(g)\Phi)(x) = e^{-i\omega_a(R_D(X_a) - R_V(X_a))}\Phi(x)$$ Entonces, si usamos la notación de di-Francesco $$(\rho_F(g)\Phi)(x) = e^{-i\omega_aG_a}\Phi(x)$$ entonces nosotros tenemos $$G_a = R_D(X_a) - R_V(X_a)$$ Para ver que esto conduce a signos consistentes, etc., veamos un ejemplo:

Ejemplo. Traducciones

Considere un campo cuyo espacio objetivo se transforma trivialmente bajo traslaciones;

$$(\rho_F(g)\Phi)(x+a) = \Phi(x)$$ Entonces sí $ia^\mu P_\mu$es el elemento del álgebra de Lie que corresponde a las traslaciones $x\to x+a$, y si definimos $$R_V(P_\mu) = 0, \qquad R_D(P_\mu) = -i\partial_\mu$$ Entonces nosotros tenemos $$G_\mu = -i\partial_\mu$$ de modo que $$e^{-ia^\mu G_\mu}\Phi(x) = e^{-a^\mu\partial_\mu}\Phi(x) = \Phi(x-a) = (\rho_F(g)\Phi)(x)$$ como se desee.